Quiz sulla derivabilità

[silvia9210]

Se ho una funzione che è drivabile in R tranne che in x=1 ma ho il lim(x->1)f'(x)=2 (il limite per x che tende a uno della derivata di fx e uguale a due), posso dire cosa?
1. fx è necessariamente derivabile in 1 e f'(x)=2
2. f necessariamente continua
3. f potrebbe anche non essere derivabile?

Ragionando io avrei detto o la 1 o la 3 ma nn so.... -.-

[nato_pigro1]

non ho capito la domanda: hai detto che la funzione non è derivabile in $x=1$, poi tra le risposte c'è che è derivabile...

[silvia9210]

si xke le ipotesi sono che f(x) non è derivabile xò so anche che il limite per x che tende a uno della derivata prima vale 2!! Guarda tt le ipotesi

[dissonance]

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Grazie.[/xdom]

[Folkner]

Per quanto ne so io, scrivere che il lim per x-->1 di f'(x) è uguale a 2 vuol dire che per gli x vicini al valore x°=1, f'(x) (circa) = 2; questo non implica però automaticamente che f ' (x°)=f ' (1)=2.

$ lim_(x -> 1) f'(x) = 2 $

Non vuol dire nient'altro di ciò che dice l'espressione stessa. E non implica nulla di particolare riguardo alla funzione di partenza f(x) (a parte il fatto, da te non menzionato, che in vicinanza di x°= 1 f(x) ha andamento strettamente crescente). Quindi la risposta al tuo "quiz" in realtà, sarebbe "nessuna delle tre"....

[dissonance]

Questo quiz è pensato per disinnescare un errore comune riguardo la derivabilità. Negli esercizi, per stabilire se una funzione sia derivabile o meno in un punto \(x_0\), si usa spesso calcolare il limite per \(x \to x_0\) della derivata; se questo esiste finito, si conclude poi che la funzione è derivabile in \(x_0\).

Sbagliato!!!

Per usare questa tecnica occorre un'altra ipotesi: che la funzione sia anche continua in \(x_0\). Se questo accade, e se la funzione derivata ammette limite in \(x_0\), allora la funzione è derivabile anche in tale punto. Ma senza l'ipotesi di continuità questa conclusione è falsa.

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La domanda del quiz ci pone proprio di fronte a questo interrogativo. Infatti essa non ha detto che \(f\) è continua in \(x=1\). Quindi non siamo in grado di concludere proprio nulla, ovvero la risposta corretta è la 3.

Un esempio: consideriamo la funzione

\[f(x)=\begin{cases} 1& x >0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}\]

Essa non è certamente continua, quindi tantomeno è derivabile, in \(0\); tuttavia essa è derivabile in \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) e la funzione derivata ammette limite per \(x\to 0\).