Quiz sulla convergenza di serie di potenze

[lotuno]

Buongiorno, oggi voglio proporre un quiz sulle serie di potenze su cui sto avendo difficoltà d'impostazione. Posto la traccia e il risultato e vi dico poi come avevo intenzione di procedere.

Sia $a_n$ una successione tale che $a_n > 0$ per ogni $n$: supponendo che il $lim_(n -> oo ) (a_(n+1))/a_n = 3$, la serie di potenze $sum_(n = 0) ^(oo) ((a^3)_(n+1))/a_n *(x-1)^n$ dove converge puntualmente? RISPOSTA: $(8/9, 10/9)$.

In questo caso avevo pensato di scomporre il termine al cubo e vederlo come $((a^2)_(n+1)) * (a_(n+1))/a_n$ ma in ogni caso non saprei dopo come procedere... Nella forma in cui è stato posto il problema sembrerebbe doversi applicare un criterio di rapporto, e in effetti ho "notato" che il denominatore nell'insieme di convergenza è un $9$, che è $3^2$, non un cubo. Per questo avevo pensato di usare quella scomposizione, ma dopo quel passaggio non so bene cosa impostare. Qualcuno che mi dia un input per proseguire?

Vi ringrazio in anticipo

[Rigel1]

Indica con \(b_n := \frac{a_{n+1}^3}{a_n}\) i coefficienti della nuova serie di potenze.
Prova a calcolare il limite di
\[
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \cdots = \left(\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\right)^3 \cdot \frac{a_n}{a_{n+1}}
\]
a partire dal limite dato per ipotesi.