Quiz su funzioni

[Obidream]

Buonasera a tutti, sottopongo alla vostra osservazione un esercizio che mi hanno girato, ma che non riesco a risolvere..

Siano $f(x)=sqrt(1+x^4)$ e $g(x)=e^(x^4)$. Allora:

a) $g(x)-f(x)<=0$ in un intorno di $x=0$

b) $g(x)-f(x)=o(x^4)$ per $x->0$

c) $g(x)-f(x)=o(x^8)$ per $x->0$

d) $g(x)-f(x)>=0$ in un intorno di $x=0$

e) nessuna delle altre risposte

Allora io avevo pensato di procedere calcolando lo sviluppo di Mclaurin la funzione $h(x)=g(x)-f(x)$ quindi:

$1+x^4+o(x^4)-(1+x^4/2+o(x^4))$

$x^4/2+o(x^4)$

Per verificare la b) applico la definizione, ovvero se $lim_(x->0) (h(x))/x^4=0$ allora $h=o(x^4)$

$lim_(x->0) (x^4/2)/x^4=1/2$ quindi escludo la b)

Per la c) è simile ma devo calcolare $lim_(x->0) (x^4/2)/x^8=+oo$

Allora osservo che in un intorno di $0$ la mia $h(x) ∼ x^4/2$ quindi dovrebbe essere sempre $>=0$.. eppure mi dicono che la risposta corretta dovrebbe essere la b).. dove sbaglio?

[laura1232]

secondo me la risposta corretta è d.. la b la escluderei completamente

[Lory314]

Per me è la d). In entrambe le funzioni sono monotone crescenti e $x=0$ entrambe le funzioni valgono 1. Poiché $g(x)$ tende a zero più velocemente di $f(x)$, allora $g(x)$ starà sopra a $f(x)$. Da questo si deduce che esite un intorno di $x=0$ tale che $g(x)-f(x)>=0$.

[Noisemaker]

e tra l'altro $h(0)=0,$ e $\lim_{x\to\pm\infty} h(x)=+\infty$

[ciampax]

E' la d), non ci sono dubbi. Chi è che "ti dice" che è la b)?