Quiz Numeri $CC$omplessi
Ho qualche problema con questi quiz:
$1)$ L'equazione: $z^14+2z^3-z=0$
Risposta esatta: Ha almeno due radici reali
Mancando il termine noto, il grado "scende" a 13, e $z=0$ è una soluzione. A occhio si vede che un'altra soluzione reale è $z=-1$. MA se non si vedesse a occhio c'è qualche teorema che viene in mio aiuto?
Ma in tutto le soluzioni sono comunque 14 anch mancando il termine noto?
$2)$ Se $z=a+ib$ con $b!=0$, è una radice doppia del polinomio $p(x)$ a coefficienti reali, allora:
Risposta: Se il polinomio non ha termine noto, il suo grado è maggiore o uguale a 5.
essendo $z=a+ib$ una radice doppia, ed essendo il polinomio a coefficienti reali, anche $z=a-ib$ è una radice doppia. ma come si fa a dire che ce ne siano 5 o più?
Penso che il problema sia lo stasso per entrambi i quesiti
$1)$ L'equazione: $z^14+2z^3-z=0$
Risposta esatta: Ha almeno due radici reali
Mancando il termine noto, il grado "scende" a 13, e $z=0$ è una soluzione. A occhio si vede che un'altra soluzione reale è $z=-1$. MA se non si vedesse a occhio c'è qualche teorema che viene in mio aiuto?
Ma in tutto le soluzioni sono comunque 14 anch mancando il termine noto?
$2)$ Se $z=a+ib$ con $b!=0$, è una radice doppia del polinomio $p(x)$ a coefficienti reali, allora:
Risposta: Se il polinomio non ha termine noto, il suo grado è maggiore o uguale a 5.
essendo $z=a+ib$ una radice doppia, ed essendo il polinomio a coefficienti reali, anche $z=a-ib$ è una radice doppia. ma come si fa a dire che ce ne siano 5 o più?
Penso che il problema sia lo stasso per entrambi i quesiti
Risposte
"Flamber":
MA se non si vedesse a occhio c'è qualche teorema che viene in mio aiuto?
Non credo: gli unici teoremi "insoliti" che fanno vedere gli zeri sono quello di Rouché e quello dell'indicatore logaritmo: ma fanno vedere zeri "complessi".
Al posto tuo vedrei "quante volte cambia segno" $f(x)$ per vedere se ha qualche zero nascosto (dove $f(x)$ è la $f(z)$ ristretta ai reali).
"Flamber":
Ma in tutto le soluzioni sono comunque 14 anch mancando il termine noto?
Certo!
Se manca il termine noto una è $z=0$.
"Flamber":
Risposta: Se il polinomio non ha termine noto, il suo grado è maggiore o uguale a 5.
essendo $z=a+ib$ una radice doppia, ed essendo il polinomio a coefficienti reali, anche $z=a-ib$ è una radice doppia. ma come si fa a dire che ce ne siano 5 o più?
La soluzione la sai: se $a+ib$ è radice doppia lo è anche $a-ib$. Concludi, dunque, che il polinomio è almeno di grado 4.
Se non c'è il termine noto è almeno di grado $5$ poiché "la quinta" è il già citato $z=0$.
Grazie mille
Ce ne sarebbe un'altro che mi da un po' di problemi:
$z=(sqrt(2)+isqrt(2))/(sqrt(3)-i)$
allora quale è il valore di $z^12$
Facendo un po' di calcoli arrivo a
$z=(sqrt(2)+isqrt(2))/(sqrt(3)-i) = 1/(2sqrt(2))(sqrt(3)-1)+i(sqrt(3)+1)$
ed ora cosa potrei fare? Devo ovviamente portarlo in forma esponenziale, ma non ho molte idee di come fare
Ce ne sarebbe un'altro che mi da un po' di problemi:
$z=(sqrt(2)+isqrt(2))/(sqrt(3)-i)$
allora quale è il valore di $z^12$
Facendo un po' di calcoli arrivo a
$z=(sqrt(2)+isqrt(2))/(sqrt(3)-i) = 1/(2sqrt(2))(sqrt(3)-1)+i(sqrt(3)+1)$
ed ora cosa potrei fare? Devo ovviamente portarlo in forma esponenziale, ma non ho molte idee di come fare
sono arrivato a $1/sqrt(2) (e^(iπ/6)+e^(i2/3 π))$
Scusate per il terzo messaggio consecutivo.
il risultato di $z=(sqrt(2)+isqrt(2))/(sqrt(3)+1)$ allora $z^12=-1$
come arrivare a questo risultato, non lo so.
Soprattutto considerando che i miei calcoli mi hanno portato a $z=1/sqrt(2) (e^(iπ/6)+e^(i2/3 π))$
il risultato di $z=(sqrt(2)+isqrt(2))/(sqrt(3)+1)$ allora $z^12=-1$
come arrivare a questo risultato, non lo so.
Soprattutto considerando che i miei calcoli mi hanno portato a $z=1/sqrt(2) (e^(iπ/6)+e^(i2/3 π))$
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