Quiz malefico
Salve a tutti, vorrei verificare la soluzione del seguente quiz insieme a voi 
Sia $f(x)=e^x|x-2\pi|sin(x)$. Quale delle seguenti risposte è FALSA?
a) $f(x)$ è continua
b) $f(x)$ è derivabile in $x=0$
c) $\nexists$ $lim_(x->+infty) f(x)$
d) $f(x)$ è derivabile in $x=2\pi$
e) $lim_(x->-infty) f(x)=0$
Essendo un quiz cercherei di fare meno calcoli possibili
La risposta a) è certamente vera, perché il prodotto di funzione continue è una funzione continua
b) Scrivendo $f(x)={(e^x*(x-2\pi)sin(x),if x>=2\pi),(e^x(-x+2\pi)sin(x),if x<2\pi):}$ noto che l'unico punto in cui dovrei verificare è $x=2\pi$ ovvero il punto di raccordo, quindi $f(x)$ è derivabile in x$=0$
c) $lim_(x->+infty) e^x*|x-2\pi|sin(x)$
Per il teorema del doppio confronto si ha che:
$-e^x|x-2\pi|<=e^x*|x-2\pi|sin(x)<=e^x|x-2\pi|$
Quindi per $x->+infty$ questo limite non esiste
e) $lim_(x->-infty) e^x*|x-2\pi|sin(x)$
Per il teorema del doppio confronto si ha che:
$-e^x|x-2\pi|<=e^x*|x-2\pi|sin(x)<=e^x|x-2\pi|$
Per $x->-infty$ si ha che la funzione al centro $->0$
Quindi l'unica affermazione falsa, visto che una deve esserci è certamente la d)
Vi pare corretto?
Sia $f(x)=e^x|x-2\pi|sin(x)$. Quale delle seguenti risposte è FALSA?
a) $f(x)$ è continua
b) $f(x)$ è derivabile in $x=0$
c) $\nexists$ $lim_(x->+infty) f(x)$
d) $f(x)$ è derivabile in $x=2\pi$
e) $lim_(x->-infty) f(x)=0$
Essendo un quiz cercherei di fare meno calcoli possibili
La risposta a) è certamente vera, perché il prodotto di funzione continue è una funzione continua
b) Scrivendo $f(x)={(e^x*(x-2\pi)sin(x),if x>=2\pi),(e^x(-x+2\pi)sin(x),if x<2\pi):}$ noto che l'unico punto in cui dovrei verificare è $x=2\pi$ ovvero il punto di raccordo, quindi $f(x)$ è derivabile in x$=0$
c) $lim_(x->+infty) e^x*|x-2\pi|sin(x)$
Per il teorema del doppio confronto si ha che:
$-e^x|x-2\pi|<=e^x*|x-2\pi|sin(x)<=e^x|x-2\pi|$
Quindi per $x->+infty$ questo limite non esiste
e) $lim_(x->-infty) e^x*|x-2\pi|sin(x)$
Per il teorema del doppio confronto si ha che:
$-e^x|x-2\pi|<=e^x*|x-2\pi|sin(x)<=e^x|x-2\pi|$
Per $x->-infty$ si ha che la funzione al centro $->0$
Quindi l'unica affermazione falsa, visto che una deve esserci è certamente la d)
Vi pare corretto?
Risposte
La c) è vera ma la tua giustificazione non è corretta: dal confronto che hai fatto non si può concludere niente.
Per dimostrare che il lim non esiste potresti considerare, ad esempio, i limiti successionali calcolati per $x_n = 2\pi n$ e $y_n = 2\pi n + \pi/2$.
Devo dire che, ad una rapida occhiata, le risposte mi sembrano tutte vere.
Per dimostrare che il lim non esiste potresti considerare, ad esempio, i limiti successionali calcolati per $x_n = 2\pi n$ e $y_n = 2\pi n + \pi/2$.
Devo dire che, ad una rapida occhiata, le risposte mi sembrano tutte vere.
Sei sicuro che debba essercene per forza una sbagliata? A me sembra che sia derivabile anche in [tex]x=2\pi[/tex], sia usando la definizione di derivata sia calcolando i limiti della derivata per [tex]x\rightarrow 2\pi^{\pm }[/tex], mi risulta zero in tutti i modi, a meno che non sbagli qualche calcolo, ma peraltro il grafico sembra darmi ragione
Mi faccio passare il testo e lo ricontrollo.. al massimo se trovo qualche differenza con quello che ho io, riposto 
l'opzione d) è effettivamente quella falsa solo che l'avevo scritta male: infatti doveva essere $f(x)$ non è derivabile in $x=2\pi$
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