Quiz d'esame:carattere di una serie a termini di segno alterno
Ciao ragazzi,
ho appena finito l'esame di Analisi II e vorrei un parere sul carattere di una serie.
L'esercizio infatti dava la seguente serie numerica
$\sum_{n=1} ^oo (-1)^n n^5*(1-1/(2n^2) -cos(3/n))^2 $ che è serie a termini di segno alterno.
Ora, poichè $lim_(n -> oo) (a_n) = lim_(n -> oo) n^5*(1-1/(2n^2) -cos(3/n^2))^2 ~~ lim_(n -> oo) n^5(1/(2n^2))=+oo$ allora non è verificata la condizione sufficiente per le serie numeriche e quindi io ho scritto che diverge positivamente
Pensate sia corretto? Oppure ho sbagliato il limite!
Oh, avrei anche un altro dubbio su una domanda teorica sulle successioni;la domanda chiede:"Sia ${b_n}$ una successione reale e sia $S_k=\sum_{k=o}^n b_k$ la sua somma parziale allora..."
La mia risposta è stata, se $lim_(k ->oo) S_k=S in RR$ allora $lim_(n -> oo) b_n = S$
Pensate sia corretta?
ho appena finito l'esame di Analisi II e vorrei un parere sul carattere di una serie.
L'esercizio infatti dava la seguente serie numerica
$\sum_{n=1} ^oo (-1)^n n^5*(1-1/(2n^2) -cos(3/n))^2 $ che è serie a termini di segno alterno.
Ora, poichè $lim_(n -> oo) (a_n) = lim_(n -> oo) n^5*(1-1/(2n^2) -cos(3/n^2))^2 ~~ lim_(n -> oo) n^5(1/(2n^2))=+oo$ allora non è verificata la condizione sufficiente per le serie numeriche e quindi io ho scritto che diverge positivamente
Pensate sia corretto? Oppure ho sbagliato il limite!
Oh, avrei anche un altro dubbio su una domanda teorica sulle successioni;la domanda chiede:"Sia ${b_n}$ una successione reale e sia $S_k=\sum_{k=o}^n b_k$ la sua somma parziale allora..."
La mia risposta è stata, se $lim_(k ->oo) S_k=S in RR$ allora $lim_(n -> oo) b_n = S$
Pensate sia corretta?
Risposte
Ci sono degli errori. Primo, è vero che la serie non converge, ma come fai a dire che diverge positivamente? Il termine generale cambia segno in continuazione. Magari quanto dici è pure vero (non credo), ma comunque bisognerebbe dimostrarlo.
La seconda è proprio sbagliata. Quella domanda è solo una riscrittura della condizione sufficiente per la convergenza di una serie, che sicuramente conosci.
La seconda è proprio sbagliata. Quella domanda è solo una riscrittura della condizione sufficiente per la convergenza di una serie, che sicuramente conosci.
Per la seconda: appunta che è la riscrittura della condizione sufficiente perchè è sbagliata?
Per la prima: la serie non converge assolutamente, e il limite del termine generale dovrebbe essere $+oo$; invece quindi secondo tè è una serie oscillante?
Per la prima: la serie non converge assolutamente, e il limite del termine generale dovrebbe essere $+oo$; invece quindi secondo tè è una serie oscillante?
2) Se $S_n$ converge a qualcosa (di finito), allora $b_n\to 0$. Tu non hai scritto questo.
1) Il termine generale non tende a zero, quindi possiamo dire subito che la serie non converge. Questo significa potenzialmente tre cose: o $S_n\to +\infty$, o $S_n\to -\infty$ o ancora $\lim_{n\to \infty} S_n$ non esiste. A priori non possiamo dire quale delle tre si verifichi. Ma tu hai scritto "la serie diverge positivamente", che significa dire "si verifica $S_n\to +\infty$". Come fai a essere sicuro che non si verifichi una delle altre due eventualità?
1) Il termine generale non tende a zero, quindi possiamo dire subito che la serie non converge. Questo significa potenzialmente tre cose: o $S_n\to +\infty$, o $S_n\to -\infty$ o ancora $\lim_{n\to \infty} S_n$ non esiste. A priori non possiamo dire quale delle tre si verifichi. Ma tu hai scritto "la serie diverge positivamente", che significa dire "si verifica $S_n\to +\infty$". Come fai a essere sicuro che non si verifichi una delle altre due eventualità?
Se vabbe, ciao
???
Mah.
Mah.
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