Questo integrale di volume proprio non mi riesce

[yessa1]

Ciao ,

Dovrei integrare: (3-z)

$D = { ( x,y,z ) ∈ RR^3 : 2 sqrt(x^2 + y^2) ≤ z ≤ 3 − x^2 − y^2 , y ≥ x ≥ 0 }$

Disegnando ho notato essere un paraboloide rivolto vero il basso (traslato a +3 sulle z) intersecato con un cono. Si prende in pratica la parte interna del cono.
Dopodiché ho trovato l'intersezione tra cono e paraboloide eho trovato il raggio della circonferenza che esce dal cono tagliato dal piano ad altezza z=2.
HO pensato di mettere in relazione z (integrando per fili paralleli a z) con $2*sqrt(x^2+y^2)<=z<=2$
e usare poi il dominio sul piano xy dato da: $0<=\rho<=1$ e $0<=\theta<2pi$, quindi $2\rho<=z<=2$
Però l'integralemi esce $pi$ che è errato.

Non trovo dove sbaglio

[Studente Anonimo]

Si deve considerare anche la seguente disequazione:

$2sqrt(x^2+y^2) lt= 3−x^2−y^2 rarr$

$rarr \{(3−x^2−y^2 gt= 0),(4(x^2+y^2) lt= 9+(x^2+y^2)^2-6(x^2+y^2)):} rarr$

$rarr \{(3−x^2−y^2 gt= 0),((x^2+y^2)^2-10(x^2+y^2)+9 gt= 0):} rarr$

$rarr \{(3−x^2−y^2 gt= 0),((x^2+y^2-1)(x^2+y^2-9) gt= 0):} rarr$

$rarr \{(3−x^2−y^2 gt= 0),(x^2+y^2-1 lt= 0),(x^2+y^2-9 lt= 0):} vv \{(3−x^2−y^2 gt= 0),(x^2+y^2-1 gt= 0),(x^2+y^2-9 gt= 0):} rarr$

$rarr x^2+y^2-1 lt= 0$

In definitiva:

$[A=\{(x gt= 0),(-x+y gt= 0),(x^2+y^2-1 lt= 0):}] ^^ [I=\int_{A}dxdy\int_{2sqrt(x^2+y^2)}^{3−x^2−y^2}dz(3-z)=
\int_{0}^{1}d\rho\int_{\pi/4}^{\pi/2}d\theta\int_{2\rho}^{3−\rho^2}dz\rho(3-z)]$

[yessa1]

Credo di non trovare la tecnica per gestire queste disuguaglianze. Cioè capire quali tenere.
Dopo la tua spiegazione ho capito il caso specifico, ma non saprei dire se sarei capace di replicarlo

[Studente Anonimo]

Almeno in questo caso è piuttosto semplice. Il seguente insieme:

$2sqrt(x^2+y^2) lt=z lt= 3−x^2−y^2$

è diverso dal vuoto se e solo se:

$2sqrt(x^2+y^2) lt= 3−x^2−y^2$

[yessa1]

Grazie