Questioni di differenzibilità

[angus89]

Ho una serie di dubbi sulla differenziabilità che espongo con un esempio

Dire se la funzione [tex]$ \frac{xy}{ \sqrt{x^2+y^2}} $[/tex] è differenziabile in (0,0), dove poniamo [tex]$f(0,0)=0$[/tex]

Allora se la funzione fosse differenziabile in (0,0) allora
[tex]$\frac{f(0,0)-f(h,k)-\nabla{f(0,0) \cdot (0-h;0-k)}}{\sqrt{h^2+k^2}}$[/tex] tenderebbe a 0 per $h$ e $k$ che tendono a zero (il punto sta per prodotto scalare)

Ma il gradiente non è definito in (0,0), anzi vale
[tex]$\nebla f(x,y)= \left(y-\frac{x^2 y}{(x^2+y^2) \sqrt{x^2+y^2}};x-\frac{y^2 x}{(x^2+y^2) \sqrt{x^2+y^2}} \right) $[/tex]

Già mi blocco...adesso cosa devo fare?Ne faccio il limite?

[gac1]

Poiché $f(x,0) = 0$ per ogni $x\in RR$, avrai che $f_x(0,0) = 0$.
Analogamente $f(0,y) = 0$ per ogni $y\in RR$, quindi anche $f_y(0,0) = 0$.
Basta usare le definizioni...

[angus89]

Utilizzando il suggerimento di gac provo a sistemare le cose

Piuttosto che derivare formalmente, pongo
[tex]$g(x)=f(x,0)$[/tex] e cerco di calcolare [tex]$g'(0)$[/tex]
Ovvero [tex]$\frac{d}{dx} g (0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0$[/tex]
Simmetricamente per la variabile $y$ (la funzione è simmetrica nelle sue variabili)

Quindi [tex]\nabla f(0,0) = (0,0)[/tex]

Sostituendo ora nella condizione di differenziabilità dovrebbe essere

[tex]$ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{hk}{h^2+k^2}=0 $[/tex]

ma ciò non è vero, infatti ponendo
[tex]$S(x,y)= \frac{xy}{x^2+y^2}=0$[/tex]
[tex]S(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\frac{1}{2}[/tex] per ogni $n$
quindi anche per $n->oo$ pertanto tale limite non può esser 0
Quindi la funzione non è differenziabile

Posto un pò di immagini della funzione



Da due punto di vista



Sembrerebbe che non sia differenziabile...
Qulcuno può confermare?

[gac1]

Confermo.