Questione sulle forme differenziali

[Johnny_Mnemonic]

Allora ho una forma differenziale di classe C1 in un certo dominio E.
E sarebbe l'insieme dei punti (x,y) al di fuori della circonferenza di centro l'origine e raggio 1 e quindi posso dire che E è un insieme connesso ma non semplicemente connesso poichè ha buchi .... anche se ne ha solo 1 .
Ora vorrei sapere se dopo che ho verificato che la forma differenziale è chiusa l'unico modo per verificare che sia esatta è determinare il potenziale e poi verificare se le derivate parziali coincidono oppure ci sono delle condizioni che mi permettono a priori di dire che la forma differenziale è esatta?

[dissonance]

Ecco una vecchia discussione ben riuscita su questo argomento:

https://www.matematicamente.it/forum/for ... 62653.html

[Johnny_Mnemonic]

ma non è più semplice fare come dico io?
determini il potenziale .... se soddisfa le condisioni a posteriori dici che è esatta.

Anche perchè secondo il post che mi hai dato dovrei determinare una curva chiusa contenente la circonferenza di raggio 1 e centro l'origine sulla quale l'integrale della mia forma differenziale è nullo e poi dire che tutte le curve sono omotope a quella trovata e poi concludere che la circuitazione di tutte le curve chiuse dell'insieme è nulla.

Cioè la mia forma differenziale è:

$\omega(x,y)=(\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}})dx+(\frac{-y}{\sqrt{e^{2x}-y^{2}}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}})dy$

Cioè io come mi sogno di trovare una curva chiusa contenente la circonferenza di raggio 1 e centro l'origine di questa forma differenziale?

Mo si che non ci ho capito niente.