Questione riguardante l'integrabilità: se $a,b\geq 0$ e $a<+\infty$, $b<+\infty$, allora $a-b<+\infty$

[glooo1]

Sia $f\in C^0(\mathbb{R})$, tale che $f\geq 0$.

Suppongo che $\int_{\mathbb{R}}f(t) dt<+\infty$.

Con questa ipotesi posso dedurre che la quantità

$\int_{0}^{+\infty} f(t) dt-\int_{-\infty}^{0} f(t)dt<+\infty$ ?

Io direi di sì, visto che $\int_{\mathbb{R}}f(t) dt<+\infty$ se e solo se $\int_{0}^{\infty}f(t)dt<+\infty$ e $\int_{-\infty}^{0}f(t)dt<+\infty$.

E' giusto? Grazie mille


Quindi se $a,b\geq 0$ e$a<+\infty$, $b<+\infty$, allora $a-b<+\infty$, giusto?
Dovrebbe valere anche il viceversa, vero?

Grazie per le chiarificazioni

[gugo82]

Il problema, come sempre in questi casi, è capire il senso del simbolo:
\[
\intop_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ \text{d} x\ldots
\]
Che tipo di integrale è?

***

EDIT: Ieri sera mi ero perso l'ipotesi sulla non negatività della funzione.
In tal caso, è evidente che la funzione $g$ definita in $RR$ ponendo:
\[
g(x):=\begin{cases} f(x)&\text{, se } x\geq 0\\
-f(x)&\text{, se } x<0\end{cases}
\]
soddisfa $|g|=f$ in tutto $RR$, dunque la sommabilità di $g$ segue dall'integrabilità di $f$ per disuguaglianza triangolare.

[glooo1]

Grazie mille!