Questi poli essenziali mi fanno impazzire!!!!!!!!!!!!!!
Ciao ragazzi!
Sono nuovo e quindi spero di sapermi esprimere in modo comprensibile!
Per determinare la natura di un polo devo calcolare il limite per Z->Zo della f(Z). Il mio problema risiede nei poli essenziali! C'è qualche piccolo trucco che mi permette di sapere già con buona approssimazione se avrò dei poli essenziali? Per esempio le funzioni esponenziali mi danno poli essenziali quasi sempre? (dai miei esercizi ho trovato questo!!) E le funzioni trigonometriche? E poi esiste qualche procedimento standard per dimostrare l'esistenza dei limiti? Sono consapevole che forse chiedo cose impossibili, però a meno che non faccio 10000 esercizi non troverò mai da me le risposte! Vi ringrazio in partenza!
Sono nuovo e quindi spero di sapermi esprimere in modo comprensibile!
Per determinare la natura di un polo devo calcolare il limite per Z->Zo della f(Z). Il mio problema risiede nei poli essenziali! C'è qualche piccolo trucco che mi permette di sapere già con buona approssimazione se avrò dei poli essenziali? Per esempio le funzioni esponenziali mi danno poli essenziali quasi sempre? (dai miei esercizi ho trovato questo!!) E le funzioni trigonometriche? E poi esiste qualche procedimento standard per dimostrare l'esistenza dei limiti? Sono consapevole che forse chiedo cose impossibili, però a meno che non faccio 10000 esercizi non troverò mai da me le risposte! Vi ringrazio in partenza!
Risposte
Credo che il metodo standard per trovare l'ordine di un polo sia quello di passare per gli sviluppi in serie di potenze...
Altrimenti ci sono tutte quelle regole sui limiti....
Altrimenti ci sono tutte quelle regole sui limiti....
grazie mille! Temevo che la risposta fosse quella data da te 
Comunque ho un altro dubbio! Se ho un limite per Z->(a+jb) di una finzione trigonometrica come lo devo trattare?
Non ha senso calcolare il coseno di un numero complesso!!! Come faccio?
Grazie mille!
Comunque ho un altro dubbio! Se ho un limite per Z->(a+jb) di una finzione trigonometrica come lo devo trattare?
Non ha senso calcolare il coseno di un numero complesso!!! Come faccio?
Grazie mille!
Io userei le formule:
$ cos(z) = { e^{jz} + e^{-jz} }/{2} \qquad \qquad sin(z) = { e^{jz} - e^{-jz} }/{2j}$
Che saltano fuori dalla formula di Eulero:
$ e^{jz} = cos(z) + j sin(z) $
Altrimenti basta che ti ricordi che se $x$ e' un numero reale:
$ cos(jx)=Ch(x) \qquad \qquad sin(jx)=Sh(x)$
quindi potresti risolvere il limite usando le formule trigonometriche:
$ cos( a + jb ) = cos(a)Ch(b)-sin(a)Sh(b) $
e:
$ sin( a + jb ) = sin(a)Ch(b)+cos(a)Sh(b) $
anche se secondo me il primo metodo e' piu' veloce...
$ cos(z) = { e^{jz} + e^{-jz} }/{2} \qquad \qquad sin(z) = { e^{jz} - e^{-jz} }/{2j}$
Che saltano fuori dalla formula di Eulero:
$ e^{jz} = cos(z) + j sin(z) $
Altrimenti basta che ti ricordi che se $x$ e' un numero reale:
$ cos(jx)=Ch(x) \qquad \qquad sin(jx)=Sh(x)$
quindi potresti risolvere il limite usando le formule trigonometriche:
$ cos( a + jb ) = cos(a)Ch(b)-sin(a)Sh(b) $
e:
$ sin( a + jb ) = sin(a)Ch(b)+cos(a)Sh(b) $
anche se secondo me il primo metodo e' piu' veloce...
Grazie ancora!! Mi hai risolto un dubbio che mi faceva scervellare!
ritornando al primo post che ho fatto mi sapresti consigliare delle "strade" da seguire per andare a dire che un limite non esiste? Mi interessa soprattutto nel caso di seno e coseno! io di solito sostituisco a Z=x+iy e pongo prima x=0 e faccio tendere y->0 e poi il viceversa (ovviamente Z=0 è una singolarità). é l'unico metodo oppure dalla tua esperienza sai consigliarmi qualcosa di più furbo?
grazie
ritornando al primo post che ho fatto mi sapresti consigliare delle "strade" da seguire per andare a dire che un limite non esiste? Mi interessa soprattutto nel caso di seno e coseno! io di solito sostituisco a Z=x+iy e pongo prima x=0 e faccio tendere y->0 e poi il viceversa (ovviamente Z=0 è una singolarità). é l'unico metodo oppure dalla tua esperienza sai consigliarmi qualcosa di più furbo?
grazie
La mia "esperienza" e' MOLTO limitata! 
Non mi e' mai capitato di fare un esercizio in cui si chiede di verificare la continuita' di una funzione in $CC$... Comunque il procedimento e' in tutto e per tutto analogo a quello che si usa per le funzioni in 2 variabili: per dimostrare che il limite esiste devi mostrare che il risultato del limite e' lo stesso provenendo da ogni direzione. Quindi si passa in coordinate polari e si vede se il limite di:
$ lim_{\rho \to 0} f(\rho,\theta) $ (1)
e' indipendente da $\theta$.
Per dimostrare che il limite NON esiste o calcoli il limite (1) e mostri che dipende da $\theta$ oppure, in alcuni casi, si riescono a vedere "a occhio" due curve su cui le cose "vanno male". Un esempio (che mi sono inventato al momento quindi e' quello che e') e' questo:
$ f(z) = |z|^2/{Re(z)Im(z)} \qquad z \in { z \in CC : z = x+jy \ , \ x>0 , y>0 } $
Ovvero se $z=x+jy$:
$ f(z) = (x^2+y^2)/(xy) $
Ci si chiede se esiste il limite per $z \to 0$. L'idea di fondo e' trovare due curve:
$ (x,y) = ( x(t) , y(t) ) $
Tali che $(x(t),y(t)) \to (0,0)$ quando $t \to 0$ su cui il limite sia diverso. Si vede abbastanza bene che se il grado del numeratore e quello del denominatore fossero uguali si tenderebbe a una costante, viceversa, si andrebbe a $0$ o a $\infty$.
Quindi la prima curva che scegliamo e':
$ (x,y) = (t,t) $
Se facciamo il limite su quella curva abbiamo:
$ \lim_{t \to 0} f(x(t)+jy(t))=(2t^2)/(t^2)=2 $
Poi scegliamo una curva su per cui si abbia un grado diverso fra numeratore e denominatore:
$ (x,y) = (t,t^2) $
Su questa curva:
$ \lim_{t \to 0} f(x(t)+jy(t)) = (t^2+t^4)/(t^3) = \lim_{t \to 0} t + 1/t = \infty $
Siccome abbiamo due limiti diversi sulle due curve il limite in $0$ non esiste.
OSS: Ho scelto un esempio in cui non era consentito scegliere le rette coordinate (quindi ponendo $x=0$ e facendo tendere a zero $y$ e vice-versa). Infatti non sempre e' possibile fare cosi'.
PS: Nel caso di funzioni tringonometriche non cambia nulla, solo diventano piu' rognosi i conti....
Non mi e' mai capitato di fare un esercizio in cui si chiede di verificare la continuita' di una funzione in $CC$... Comunque il procedimento e' in tutto e per tutto analogo a quello che si usa per le funzioni in 2 variabili: per dimostrare che il limite esiste devi mostrare che il risultato del limite e' lo stesso provenendo da ogni direzione. Quindi si passa in coordinate polari e si vede se il limite di:
$ lim_{\rho \to 0} f(\rho,\theta) $ (1)
e' indipendente da $\theta$.
Per dimostrare che il limite NON esiste o calcoli il limite (1) e mostri che dipende da $\theta$ oppure, in alcuni casi, si riescono a vedere "a occhio" due curve su cui le cose "vanno male". Un esempio (che mi sono inventato al momento quindi e' quello che e'
) e' questo:$ f(z) = |z|^2/{Re(z)Im(z)} \qquad z \in { z \in CC : z = x+jy \ , \ x>0 , y>0 } $
Ovvero se $z=x+jy$:
$ f(z) = (x^2+y^2)/(xy) $
Ci si chiede se esiste il limite per $z \to 0$. L'idea di fondo e' trovare due curve:
$ (x,y) = ( x(t) , y(t) ) $
Tali che $(x(t),y(t)) \to (0,0)$ quando $t \to 0$ su cui il limite sia diverso. Si vede abbastanza bene che se il grado del numeratore e quello del denominatore fossero uguali si tenderebbe a una costante, viceversa, si andrebbe a $0$ o a $\infty$.
Quindi la prima curva che scegliamo e':
$ (x,y) = (t,t) $
Se facciamo il limite su quella curva abbiamo:
$ \lim_{t \to 0} f(x(t)+jy(t))=(2t^2)/(t^2)=2 $
Poi scegliamo una curva su per cui si abbia un grado diverso fra numeratore e denominatore:
$ (x,y) = (t,t^2) $
Su questa curva:
$ \lim_{t \to 0} f(x(t)+jy(t)) = (t^2+t^4)/(t^3) = \lim_{t \to 0} t + 1/t = \infty $
Siccome abbiamo due limiti diversi sulle due curve il limite in $0$ non esiste.
OSS: Ho scelto un esempio in cui non era consentito scegliere le rette coordinate (quindi ponendo $x=0$ e facendo tendere a zero $y$ e vice-versa). Infatti non sempre e' possibile fare cosi'.
PS: Nel caso di funzioni tringonometriche non cambia nulla, solo diventano piu' rognosi i conti....
interessante, molto interessante!!!
In effetti in Analisi 2 facevo così, ma sono un po' arrugginito e quindi sono in panico.
Grazie per la spiegazione. A presto con i miei innumerevoli dubbi!!!!!!
In effetti in Analisi 2 facevo così, ma sono un po' arrugginito e quindi sono in panico
.Grazie per la spiegazione. A presto con i miei innumerevoli dubbi!!!!!!
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