Questa funzione ha dominio su...?
ciao a tutti,
vi pongo una domanda credo abbastanza sciocca, ma mi crea qualche dubbio:
se leggo $f(x, y, z)$, posso affermare ragionevolmente che tale $f$ abbia dominio in $R^3$.
ma se scrivo $z=g(x,y)$, ottenendo quindi $f(x,y, g(x,y))$, posso ancora affermare che tale $f$ abbia dominio in $R^3$ o, dato che la terza variabile $z$ è funzione delle prime due, il suo dominio è ora $R^2$?
vi pongo una domanda credo abbastanza sciocca, ma mi crea qualche dubbio:
se leggo $f(x, y, z)$, posso affermare ragionevolmente che tale $f$ abbia dominio in $R^3$.
ma se scrivo $z=g(x,y)$, ottenendo quindi $f(x,y, g(x,y))$, posso ancora affermare che tale $f$ abbia dominio in $R^3$ o, dato che la terza variabile $z$ è funzione delle prime due, il suo dominio è ora $R^2$?
Risposte
Una funzione ha dominio contenuto in $RR^n$, dove $n$ è il numero di variabili indipendenti, per cui...
In ogni caso, credo che il tuo quesito sia mal posto. Ti spiego: se sei partito da una funzione $w=f(x,y,z)$ essa ha come dominio un sottoinsieme di $RR^3$ e immagine in $RR$, cosicché il suo grafico è in $RR^4$.
Ma sela funzione originale è data in forma implicita $f(x,y,z)=0$ allora essa ha grafico in $RR^3$ e quello che fai in seguito è esplicitare la $z$ in termini di una nuova funzione $g(x,y)$: questo ti permette di dire che la funzione $z=g(x,y)$ ha dominio contenuto in $RR^2$ e immagine in $RR$ e risulta, ancora, con grafico in $RR^3$.
In ogni caso, credo che il tuo quesito sia mal posto. Ti spiego: se sei partito da una funzione $w=f(x,y,z)$ essa ha come dominio un sottoinsieme di $RR^3$ e immagine in $RR$, cosicché il suo grafico è in $RR^4$.
Ma sela funzione originale è data in forma implicita $f(x,y,z)=0$ allora essa ha grafico in $RR^3$ e quello che fai in seguito è esplicitare la $z$ in termini di una nuova funzione $g(x,y)$: questo ti permette di dire che la funzione $z=g(x,y)$ ha dominio contenuto in $RR^2$ e immagine in $RR$ e risulta, ancora, con grafico in $RR^3$.
bene grazie 
ma non capisco perchè sostieni che la domanda sia mal posta dato che io non ho detto in alcun modo cosa è la funzione $f$, cioè se essa è $0$ o quant'altro. nè ho detto nulla sul suo grafico o una sua qualsiasi interpretazione geometrica.
in effetti, tutto ciò che hai detto dopo la prima riga a me è già chiaro. mi sfuggiva solo la questione del "variabili indipendenti" ^^
volevo infatti anche generalizzare la domanda ad un numero $n$ indefinito di variabili $x_i$ e una collezione di $k$ funzioni ${g_j({x_i})}$ di tali $n$ variabili. proprio per evitare interpretazioni geometriche. ma ho optato per una forma più "snella" del quesito, e quindi della notazione
grazie comunque. piccolo lapsus
ma non capisco perchè sostieni che la domanda sia mal posta dato che io non ho detto in alcun modo cosa è la funzione $f$, cioè se essa è $0$ o quant'altro. nè ho detto nulla sul suo grafico o una sua qualsiasi interpretazione geometrica.
in effetti, tutto ciò che hai detto dopo la prima riga a me è già chiaro. mi sfuggiva solo la questione del "variabili indipendenti" ^^
volevo infatti anche generalizzare la domanda ad un numero $n$ indefinito di variabili $x_i$ e una collezione di $k$ funzioni ${g_j({x_i})}$ di tali $n$ variabili. proprio per evitare interpretazioni geometriche. ma ho optato per una forma più "snella" del quesito, e quindi della notazione
grazie comunque. piccolo lapsus
Perché da come avevi posto il quesito, sembrava tu avessi a che fare con funzioni implicite e loro esplicitazioni. 
nono. sto giocando coi differenziali, quindi con la chain rule
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