Questa funzione è continua?
Determina, motivando la risposta, se la funzione \( f:\mathbb{R\longrightarrow \mathbb{R} } \) data da
\( f\mathbb{(x)\mathbb{=\begin{cases} cos x+xsinx\text{ per } x>0 \\ 0\text{ per } x=0 \\ ((tanx)^2)/(x^2)\text{ per } x<0 \end{cases}} } \)
è continua in $x$o=0.
\( f\mathbb{(x)\mathbb{=\begin{cases} cos x+xsinx\text{ per } x>0 \\ 0\text{ per } x=0 \\ ((tanx)^2)/(x^2)\text{ per } x<0 \end{cases}} } \)
è continua in $x$o=0.
Risposte
Credo che solo scrivendo su google la frase $\text{determinare se una funzione è continua}$ ci siano un putiferio di esercizi svolti. Idem con patate cercando qui sul forum.
Si tratta di fare due limiti per vedere, se la funzione si attacca bene, detto in modo poco formale
Si tratta di fare due limiti per vedere, se la funzione si attacca bene, detto in modo poco formale
Ciao andrea14,
Come si fa a sapere se una funzione è continua in un punto $x_0 $ ?
Si controlla se soddisfa la definizione di continuità:
$ lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $
Che significa:
1) Calcolare $ lim_{x \to x_0^-} f(x) $ e $ lim_{x \to x_0^+} f(x) $;
2) Calcolare $f(x_0) $;
3) Verificare se $ lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) = lim_{x \to x_0^+} f(x) $: se è così la funzione è continua, altrimenti no...
Quindi così ad occhio direi che la funzione proposta non è continua nel punto $x_0 = 0 $
"andrea14":
è continua in $x_0 = 0 $.
Come si fa a sapere se una funzione è continua in un punto $x_0 $ ?
Si controlla se soddisfa la definizione di continuità:
$ lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $
Che significa:
1) Calcolare $ lim_{x \to x_0^-} f(x) $ e $ lim_{x \to x_0^+} f(x) $;
2) Calcolare $f(x_0) $;
3) Verificare se $ lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) = lim_{x \to x_0^+} f(x) $: se è così la funzione è continua, altrimenti no...
Quindi così ad occhio direi che la funzione proposta non è continua nel punto $x_0 = 0 $
Andrea14: idee tue?
io pensavo di ragionare in questo modo.la seconda funzione che è 0 per x=0,ovvero ha coordinate (0,0) l'unico problema è vedere se anche la prima e la terza funzione passano per il punto (0,0) per far si che la funzione completa sia continua, io semplicemente pensavo di sostituire alla x lo 0 e vedere che valori ottengo della y.cosi facendo la prima funzione avrà per x=0 y=1,mentre la terza funzione per x=0 avrò y=0.quindi deduco che non è continua.
Permettimi di dissentire sul limite della terza:
$\lim_{x\to0} \frac{tan^2(x)}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{tan(x)}{x}\frac{tan(x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{tan(x)-tan(0)}{x-0}\frac{tan(x)-tan(0)}{x-0} =(\frac{d}{dx}tan(x)|_{x=0})^2 = [1+tan^2(0)]^2 = 1$
Detto questo, i limiti destro e sinistro, esistono e sono anche uguali (entrambi i limiti valgono 1), ma sono diversi dal valore della funzione nel punto $f(0)=0\ne1$ pertanto si ha una discontinuità eliminabile (3* tipo).
$\lim_{x\to0} \frac{tan^2(x)}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{tan(x)}{x}\frac{tan(x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{tan(x)-tan(0)}{x-0}\frac{tan(x)-tan(0)}{x-0} =(\frac{d}{dx}tan(x)|_{x=0})^2 = [1+tan^2(0)]^2 = 1$
Detto questo, i limiti destro e sinistro, esistono e sono anche uguali (entrambi i limiti valgono 1), ma sono diversi dal valore della funzione nel punto $f(0)=0\ne1$ pertanto si ha una discontinuità eliminabile (3* tipo).
ok,grazie!
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