Questa equazione differenziale è lineare?

[nunziox]

$y'=x/(x^2-1)y+y^2$

Dovrebbe essere del tipo:



giusto?

[Quinzio]

Nella definizione che hai "ricopiato" tu vedi dei quadrati ?

[nunziox]

no:) e poi lo dice la parola stessa:) lineare! Hai ragione!
e quindi?
A variabili separate non sembra.

[ciampax]

Bernoulli!

[nunziox]

Grazie... provo a risolvere:)

[nunziox]

Allora l'esercizio è un problema del tipo:

$y'=x/(x^2-1)y+y^2$
$y(0)=1$

L'equazione:

$y'=x/(x^2-1)y+y^2$

è del tipo:

$y'(x)=p(x)y(x)+q(x)y(x)^m$.

questa si riporta con la sostituzione:

$z(x)=y(x)^(1-m)$

ad una lineare. Nel mio caso:

$z(x)=1/y$ e $z'(x)=-1/y^2*y'$

Il nuovo problema è:

$z'(x)+x/(x^2-1)z(x)+1=0$
$z(0)=1$

adesso posso risolvere l'omogenea:

$z'(x)+x/(x^2-1)z(x)$

trovando le soluzioni di:

1°specie
cioè quelle nulle
2°specie
3°specie
Eventuali soluzioni miste che possono esistere solo se non ci sono le soluzioni di prima specie e quelle di seconda specie non sono globali.

Sono le soluzioni "unione" formate dall'unione di quelle di prima specie con quelle di seconda specie

Solo quando il grafico delle funzioni non globali che sono soluzioni di seconda specie agli estremi va a "unirsi" con le soluzioni di prima specie.

Ultimamente il professore a lezione ha spiegato proprio questo tipo di equazioni differenziali quella di Bernoulli.
Ricordo benissimo che scrivendo la forma generale:

$p(x)y(x)+q(x)y(x)^m$

distinse tre casi:

$m>0$ e $m!=1$ y(x)=0 è soluzione ..
$m<0$ ....

inoltre aggiunse che se:

$m>1$ sicuramente non ci sono soluzioni di tipo misto

qualcuno protrebbe spiegarmi questa differenziazione?