Questa disuguagluianza è falsa?

[Noisemaker]

ho visto questa disuguaglianza, e ho cercato di dimostrala per induzione, ma risulta falsa, ma chiedo conferma ...

Utilizzando il principio di induzione dimostrare la seguente disuguaglianza:
\begin{align*}
(1+x)^n\ge1+\frac{n(n-1)}{2} \cdot x^2,\,\,\,\forall\,\, x>0,\,\,\,\, \forall\,\, n\ge 1
\end{align*}

Anzitutto ricordiamo la disuguaglianza di Bernulli:
\begin{align*}
(1+x)^{n } \ge 1+nx
\end{align*}
allora dimostrare la disuguaglianza data è equivalente a dimostrare la seguente disuguaglianza:
\begin{align*}
1+nx\ge1+\frac{n(n-1)}{2} \cdot x^2
\end{align*}
per la transitività della relazione d'ordine dei numeri reali. Allora applicando il principio di indizione a quest'ultima disuguaglianza abbiamo:

Base dell'induzione:
$(1+ x)^1\ge1+\frac{0}{2} \cdot x^2=0$ che è evidentemente vera, poichè $1+x>1$

Passo induttivo

Supponiamo ora che valga $P(n)$, cioè supponiamo che $ 1+nx\ge1+\frac{n(n-1)}{2} \cdot x^2$ sia vera, dobbiamo dimostrare che $P(n+1)$ è ancora vera, cioè che $ 1+(n+1)x\ge1+\frac{n(n+1)}{2} \cdot x^2:$ allora si ha:
\begin{align*}
1+(n+1)x=1+nx+x\ge1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2+x\ge1+\frac{n(n+1)}{2} \cdot x^2
\end{align*}
dall'ultima disuguaglianza si ha:
\begin{align*}
1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2+x&\ge1+\frac{n(n+1)}{2} \cdot x^2\\
n(n-1) \cdot x^2+2x&\ge n(n+1) \cdot x^2\\
2x&\ge n(n+1) \cdot x^2- n(n-1) \cdot x^2\\
2x&\ge x^2 \left(n(n+1) - n(n-1) \right)\\
2x&\ge2n^2x^2 \\
x&\ge n^2x^2 \\
1&\ge n^2x
\end{align*}
che si verifica essere vera solo per i valori $x\in(0,1];$ dunque la proposizione non vale $\forall n\in\N.$

[Rigel1]

"Noisemaker":Anzitutto ricordiamo la disuguaglianza di Bernulli:
\begin{align*}
(1+x)^{n } \ge 1+nx
\end{align*}
allora dimostrare la disuguaglianza data è equivalente a dimostrare la seguente disuguaglianza:
\begin{align*}
1+nx\ge1+\frac{n(n-1)}{2} \cdot x^2
\end{align*}

Questa deduzione è falsa. Sarebbe come dire che, poiché \(5>3\), allora dimostrare che \(5>4\) è equivalente a dimostrare che \(3>4\).
La disuguaglianza di partenza è invece vera; si può dimostrare per induzione o, semplicemente, scrivendo lo sviluppo del binomio di Newton (per \(n\geq 2\)).

[Noisemaker]

"Rigel":[quote="Noisemaker"]Anzitutto ricordiamo la disuguaglianza di Bernulli:
\begin{align*}
(1+x)^{n } \ge 1+nx
\end{align*}
allora dimostrare la disuguaglianza data è equivalente a dimostrare la seguente disuguaglianza:
\begin{align*}
1+nx\ge1+\frac{n(n-1)}{2} \cdot x^2
\end{align*}

Questa deduzione è falsa. Sarebbe come dire che, poiché \(5>3\), allora dimostrare che \(5>4\) è equivalente a dimostrare che \(3>4\).
La disuguaglianza di partenza è invece vera; si può dimostrare per induzione o, semplicemente, scrivendo lo sviluppo del binomio di Newton (per \(n\geq 2\)).[/quote]

già ... anche se io in realtà avrei scritto una relazione del tipo se $a>b$ (e lo è per ipotesi) se $b>c$ (da dimostrare) allora $a>c,$ dove mi ero proposto di dimostrare appunto la seconda, che si è verifiaca falsa e quindi non mi autorizza a concludere che la disuguaglianza di partenza sis falsa...

[Rigel1]

Infatti ciò che è sbagliato è asserire che le due proposizioni siano equivalenti (come avevo segnalato in grassetto).

[Noisemaker]

si infatti! grazie

[Noisemaker]

Per completezza del post, riporto la dimostrazione,

Si verifica facilmente che la base dell'induzione è verificata; dimostriamo il passo induttivo, cioé
\begin{align*}
(1+x)^n\ge1+\frac{n(n-1)}{2} \cdot x^2\quad\Rightarrow\quad (1+x)^{n+1}\ge1+\frac{n(n+1)}{2} \cdot x^2
\end{align*}
utilizziamo lo sviluppo del binomio:
\begin{align*}
(1+x)^{k}&=1+kx+ \frac{k(k-1)}{2} \cdot x^{2}+....+kx^{n-1}+x^n\\
&\ge 1+kx +\frac{k(k-1)}{2} x^{2}
\end{align*}
ponendo $k=n+1$ abbiamo:
\begin{align*}
(1+x)^{n+1}& \ge 1+(n+1)x +\frac{n(n+1)}{2}\cdot x^{2}\\
&\ge 1+\frac{n(n+1)}{2} \cdot x^2
\end{align*}
che dimostra la disuguaglianza di pertenza.

[Rigel1]

Usando la formula del binomio di Newton non c'è bisogno di fare la dimostrazione per induzione.
Supponiamo \(n\geq 2\) (il caso \(n=1\) si verifica banalmente); dal momento che \(x\geq 0\) abbiamo che
\[
(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \left(\begin{matrix} n\\ k\end{matrix}\right) x^k \geq 1 + \left(\begin{matrix} n\\ 2\end{matrix}\right) x^2
= 1 + \frac{n(n-1)}{2}\, x^2\,.
\]