Quesito sull'integrabilità di una serie
salve a tutti posto qui l'immagine così da sbrigarmi con la scrittura ma volevo un chiarimento: lo 0 evidenziatto (nell'immagine ) è il pimo termine della serie di taylor della funzione g(x).
quando io voglio determinare lo sviluppo in serie di una funzione e ne conosco lo sviluppo della sua derivata, oppure voglio calcolare l'integrale di una funzione (riportando la primitiva esprimendola come serie) e ne conosco lo svilupoo in serie della funzione integranda, il testo e il teorema di integrazione delle serie mi dicono che è lecito utilizzare il seguente metodo.
Ma così facendo perdo comunque il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor della funzione. Mi basta dunque calcolarlo e aggiungerlo oppure è sempre zero come in questo caso riportato?
quando io voglio determinare lo sviluppo in serie di una funzione e ne conosco lo sviluppo della sua derivata, oppure voglio calcolare l'integrale di una funzione (riportando la primitiva esprimendola come serie) e ne conosco lo svilupoo in serie della funzione integranda, il testo e il teorema di integrazione delle serie mi dicono che è lecito utilizzare il seguente metodo.
Ma così facendo perdo comunque il primo termine dello sviluppo in serie di Taylor della funzione. Mi basta dunque calcolarlo e aggiungerlo oppure è sempre zero come in questo caso riportato?
Risposte
Visto che quelli calcolati sono integrali definiti il problema non si pone.
Perché?
Perché?
non nn sono integrali definiti perché non voglio calcolare un integrale specifico, mi serve lo sviluppo in serie di una funzione e qui mi dicono che posso farlo dallo sviluppo in serie della derivata integrandola....ora ho caricato meglio l'immagine e si vede bene.
"dragonspirit":
non nn sono integrali definiti perché non voglio calcolare un integrale specifico, mi serve lo sviluppo in serie di una funzione e qui mi dicono che posso farlo dallo sviluppo in serie della derivata integrandola....ora ho caricato meglio l'immagine e si vede bene.
Sono integrali definiti.
Perché?
come fanno ad essere integrali definiti questi? e se lo sono quindi il termine da sommare sarà sempre 0 dunque
Dovresti riflettere un po' meglio su quello che hai davanti agli occhi.
Hai una funzione \(g:I\to \mathbb{R}\) (per comodità \(I\) intervallo aperto di \(\mathbb{R}\) non degenere) la cui derivata \(g^\prime\) è definita in \(I\) ed è sviluppabile in serie di Taylor intorno ad un certo punto \(x_0\in I\), cioé hai:
\[
\tag{1}
g^\prime (x) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (x-x_0)^n
\]
per ogni \(x\in ]x_0-r,x_0+r[\) con \(r>0\) sufficientemente piccolo (cioé tale che \(]x_0-r,x_0+r[\subseteq I\)).
Dalla teoria è noto che la convergenza della serie (1) è totale in ogni compatto contenuto in \(]x_0-r,x_0+r[\); in particolare, preso ad arbitrio \(x\in ]x_0-r,x_0+r[\), la convergenza è totale nell'intervallo di estremi \(x_0\) ed \(x\) e perciò è lecito integrate termine a termine.
Dal teorema di integrazione termine a termine e dal teorema fondamentale del calcolo integrale si trae:
\[
\begin{split}
g(x)-g(x_0) &\stackrel{\text{TFCI}}{=} \int_{x_0}^x g^\prime (t)\ \text{d} t\\
&= \int_{x_0}^x \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\ (t-x_0)^n\right)\ \text{d} t\\
&\stackrel{\text{Int. t.a.t.}}{=} \sum_{n=0}^\infty a_n\ \int_{x_0}^x(t-x_0)^n\ \text{d} t\\
&= \sum_{n=0}^\infty a_n\ \frac{1}{n+1}\ (t-x_0)^{n+1}\Big|_{x_0}^x\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\ (x-x_0)^{n+1}
\end{split}
\]
dunque:
\[
g(x)= g(x_0)+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1}}{n}\ (x-x_0)^n\; ,
\]
ossia:
\[
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n\ (x-x_0)^n \qquad \text{con } b_n:= \begin{cases} g(x_0) &\text{, se } n=0\\
\frac{a_{n-1}}{n} &\text{, se } n\geq 1\; .
\end{cases}
\]
Nel caso in esame, dato che \(g(x)=\ln (1+x)\) ed \(x_0=0\), il termine iniziale della serie per \(g\), cioé \(b_0\), è evidentemente nullo.
Hai una funzione \(g:I\to \mathbb{R}\) (per comodità \(I\) intervallo aperto di \(\mathbb{R}\) non degenere) la cui derivata \(g^\prime\) è definita in \(I\) ed è sviluppabile in serie di Taylor intorno ad un certo punto \(x_0\in I\), cioé hai:
\[
\tag{1}
g^\prime (x) = \sum_{n=0}^\infty a_n\ (x-x_0)^n
\]
per ogni \(x\in ]x_0-r,x_0+r[\) con \(r>0\) sufficientemente piccolo (cioé tale che \(]x_0-r,x_0+r[\subseteq I\)).
Dalla teoria è noto che la convergenza della serie (1) è totale in ogni compatto contenuto in \(]x_0-r,x_0+r[\); in particolare, preso ad arbitrio \(x\in ]x_0-r,x_0+r[\), la convergenza è totale nell'intervallo di estremi \(x_0\) ed \(x\) e perciò è lecito integrate termine a termine.
Dal teorema di integrazione termine a termine e dal teorema fondamentale del calcolo integrale si trae:
\[
\begin{split}
g(x)-g(x_0) &\stackrel{\text{TFCI}}{=} \int_{x_0}^x g^\prime (t)\ \text{d} t\\
&= \int_{x_0}^x \left(\sum_{n=0}^\infty a_n\ (t-x_0)^n\right)\ \text{d} t\\
&\stackrel{\text{Int. t.a.t.}}{=} \sum_{n=0}^\infty a_n\ \int_{x_0}^x(t-x_0)^n\ \text{d} t\\
&= \sum_{n=0}^\infty a_n\ \frac{1}{n+1}\ (t-x_0)^{n+1}\Big|_{x_0}^x\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}\ (x-x_0)^{n+1}
\end{split}
\]
dunque:
\[
g(x)= g(x_0)+\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1}}{n}\ (x-x_0)^n\; ,
\]
ossia:
\[
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n\ (x-x_0)^n \qquad \text{con } b_n:= \begin{cases} g(x_0) &\text{, se } n=0\\
\frac{a_{n-1}}{n} &\text{, se } n\geq 1\; .
\end{cases}
\]
Nel caso in esame, dato che \(g(x)=\ln (1+x)\) ed \(x_0=0\), il termine iniziale della serie per \(g\), cioé \(b_0\), è evidentemente nullo.
evidentemente mi sono espresso male ma da quello che hai scritto serve quindi aggiungere sempre il primo termine della serie di taylor ovvero g(xo)
Ovviamente.
Questo perché il teorema di integrazione termine a termine vale per gli integrali definiti (che sono gli unici integrali degni di questo nome... Il resto -cioé quelli indefiniti- è folklore).
Questo perché il teorema di integrazione termine a termine vale per gli integrali definiti (che sono gli unici integrali degni di questo nome... Il resto -cioé quelli indefiniti- è folklore).
io invece quando penso a integrale penso solo alla primitiva generica 
"dragonspirit":
io invece quando penso a integrale penso solo alla primitiva generica
Male.
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