Quesito sulle successioni di funzioni
Dunque io avrei un piccolo dubbio sulla parte pratica che riguarda l ostudio della convergenza uniforme delle successioni di funzione.
COme noto, per la definizione la convergenza uniforme si ha quando:
$ lim [ max |f_n(x)-f(x)|]=0 $
Sappiamo pero anche per un importante teorema che la convergenza uniforme implica la continuita' di f(x), quindi se la funzione a cui tende puntualmente e' discontinua allora non vi e' conv uniforme (spiego ogni passaggio piu' che altro per non perdermi XD).
Ora il punto cruciale: se non volessi tenere conto di questo teorema, ovvero se volessi valutare la presenza della convergenza uniforme solo sulla definizione, vi sarebbe un modo per riscontrare un "problema" nella verifica del limite precedente nel caso che la funzione sia discontinua?
spiego meglio.
Molti esercizi di questo ambito sono del tipo:
valutare la convergenza di $ f_n $ su $ [0,oo ] $ .
Soluzione: la funzione converge puntualmente a $ f $ , ma uniformemente solo in ofni intervallo del tipo $ [a,oo] $ (chi li ha mai incontrati capisce cosa intendo).
Infatti ci si accorge che nella funzione f lo 0 non e' punto di continuita' ma per x maggiore strettamente di zero si.
Ma io mi chiedo: se non mi fossi accorto della discontinuita avrei potuto trovare che se includevo lo zero non era uniforme SOLTANTO UTILIZZANDO il limite che ho scritto all inizio? e soprattutto come faccio risolvendo quel limite ad accorgermi che se prendo un intervallo [a,oo] allora dopo la conv uniforme c e'?
SE non si capisce la mia domanda posso essere stato poco chiaro io in tal caso scusatemi.
ps: perdonate se mi sono scappati un po di errori di battitura, sto scrivendo su una specie di tastiera australiana e sto davvero delirando... :lol:
COme noto, per la definizione la convergenza uniforme si ha quando:
$ lim [ max |f_n(x)-f(x)|]=0 $
Sappiamo pero anche per un importante teorema che la convergenza uniforme implica la continuita' di f(x), quindi se la funzione a cui tende puntualmente e' discontinua allora non vi e' conv uniforme (spiego ogni passaggio piu' che altro per non perdermi XD).
Ora il punto cruciale: se non volessi tenere conto di questo teorema, ovvero se volessi valutare la presenza della convergenza uniforme solo sulla definizione, vi sarebbe un modo per riscontrare un "problema" nella verifica del limite precedente nel caso che la funzione sia discontinua?
spiego meglio.
Molti esercizi di questo ambito sono del tipo:
valutare la convergenza di $ f_n $ su $ [0,oo ] $ .
Soluzione: la funzione converge puntualmente a $ f $ , ma uniformemente solo in ofni intervallo del tipo $ [a,oo] $ (chi li ha mai incontrati capisce cosa intendo).
Infatti ci si accorge che nella funzione f lo 0 non e' punto di continuita' ma per x maggiore strettamente di zero si.
Ma io mi chiedo: se non mi fossi accorto della discontinuita avrei potuto trovare che se includevo lo zero non era uniforme SOLTANTO UTILIZZANDO il limite che ho scritto all inizio? e soprattutto come faccio risolvendo quel limite ad accorgermi che se prendo un intervallo [a,oo] allora dopo la conv uniforme c e'?
SE non si capisce la mia domanda posso essere stato poco chiaro io in tal caso scusatemi.
ps: perdonate se mi sono scappati un po di errori di battitura, sto scrivendo su una specie di tastiera australiana e sto davvero delirando... :lol:
Risposte
Un accorgimento:
Puoi fare la verifica in questo modo solo se le funzioni sono continue.
In generale $f_n$ tende uniformemente a $f$ per $n->+\infty$ se $\lim_{n->+\infty} d(f_n,f)=0$[/quote]
"Hop Frog":
per la definizione la convergenza uniforme si ha quando:
$ lim [ max |f_n(x)-f(x)|]=0 $
Puoi fare la verifica in questo modo solo se le funzioni sono continue.
In generale $f_n$ tende uniformemente a $f$ per $n->+\infty$ se $\lim_{n->+\infty} d(f_n,f)=0$[/quote]
Infatti teorema citato è vero PER le $f_n$ continue.
"Hop Frog":
Ma io mi chiedo: se non mi fossi accorto della discontinuita avrei potuto trovare che se includevo lo zero non era uniforme SOLTANTO UTILIZZANDO il limite che ho scritto all inizio? e soprattutto come faccio risolvendo quel limite ad accorgermi che se prendo un intervallo [a,oo] allora dopo la conv uniforme c e'?
Si parla di sup non di max. Poi certamente ti saresti accorto della non uniforme convergenza, la quale se c'è ti permette di avvicinarti a $f(x)$ quanto vuoi, e la indipendenza da $x$ permette a $f(x)$ di avvicinarsi a $f(x_o)$ quanto vuoi, perchè lo puoi fare con $f_n(x)$ in un opportuno intorno di $x_o$ a partire da un certo $N$ in poi, ma se non è uniformemente convergente, trovi degli $x$ in quell'intorno per cui se costretto ad aggiustare $N$, e una volta aggiustato ne trovi sempre qualcun'altro, ergo vuol dire $f(x)$ non è continua in $x_o$, avresti cioè una successione di punti che converge a $x_o$ ed su cui la $f(x)$ non converge ad $f(x_o)$.
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