Quesito sulla serie di funzioni $sum_(n=1)^(oo) ((n+1)cos(2npix))/n^3$

[phigreco1]

Come posso procedere per lo svolgimento del seguente quesito?



Grazie in anticipo

PS:
La B e la D non si vedono completamente nell'anteprima, quindi l'immagine va aperta in un'altra scheda

[dissonance]

Non penso risponderà nessuno. Devi specificare cosa hai fatto e cosa pensi di fare. La richiesta secca "risolvete l'esercizio per me, grazie" non è generalmente ben vista qui.

[phigreco1]

Se sapessi cosa fare, potrei condividere ben volentieri il mio ragionamento (come ho sempre fatto). Ma il problema è che sulle serie numeriche la mia conoscenza non va oltre al criterio di Weierstrass...

[dissonance]

"phigreco": criterio di Weierstrass...

Quello è già un buon inizio. Prova ad applicarlo usando la stima $|cos(2n\pi x)|\le 1$. Quanto alle altre domande, immagino tu stia studiando le serie di Fourier.

[phigreco1]

"dissonance":Prova ad applicarlo usando la stima $|cos(2n\pi x)|\le 1$.

$|cos(2n\pi x)|\le 1 => sum_(n=1)^(oo) ((n+1)cos(2npix))/n^3 <=sum_(n=1)^(oo) (n+1)/n^3*1~sum_(n=1)^(oo) 1/n^2 =>$ converge uniformemente, puntualmente e assolutamente in $RR$?

"dissonance":Quanto alle altre domande, immagino tu stia studiando le serie di Fourier.

Sì, le serie di Fourier le ho fatte dopo le serie di funzioni, le serie di potenze e le analitiche...quindi con questo quesito non dovrebbero esserci connessioni riconducibili a Fourier

[dissonance]

No. Per rispondere al punto C ti serve sapere cosa significa "convergere in norma quadratica". Sono cose di serie di Fourier, che a questo punto ti consiglio di rivedere.

[phigreco1]

"dissonance":No. Per rispondere al punto C ti serve sapere cosa significa "convergere in norma quadratica". Sono cose di serie di Fourier, che a questo punto ti consiglio di rivedere.

Con le serie di Fourier ho studiato che le funzioni $in C_(2pi)$ hanno convergenza quadratica garantita della serie di Fourier ad $f$ e vale:

$lim_(n->oo) |f- S_(n,f)|_2=0$

Per quanto riguarda le serie di funzioni ho trovato che:
"Siano $f$ e $f_k$, $k ≥ 0$, funzioni definite e di quadrato integrabile su un intervallo chiuso e limitato $[a, b]$. Si dice che la serie di funzioni $sum_(k=0)^(oo) f_k$ converge in norma quadratica alla funzione $ f$ nell’intervallo $I$ se"

$lim_(n->oo) int_b^a |f(x)-sum_(k=0)^n f_k(x)|^2dx=lim_(n->oo) |f-sum_(k=0)^n f_k|_2^2$

[dissonance]

Hai riportato le definizioni. Ora devi solo applicarle al caso in questione per verificare se c'è convergenza in norma quadratica o no. (A proposito, l'applicazione del criterio di Weierstrass va quasi bene, ti sei solo espresso male nella forma. Non puoi dire $\sum a_n cos(nx)\le \sum b_n<\infty \Rightarrow \sum a_n\cos(nx) \text{converge}$. La serie a sinistra non è a termini positivi. Devi invece scrivere che, siccome $|a_n\cos(nx)|\le b_n$ e $\sum b_n$ è convergente, per il criterio di Weierstrass hai convergenza assoluta e uniforme ).

[phigreco1]

Ti ringrazio