Quesito sugli integrali
ciao!ho un esercizio che mi dice: Sia $g(x)=-1 $ per x<0,$g(x)=1$ per x appartenente a $[0,3]$,$g(x)=6$ per $x>3$. Sia $G_(1)(x)=int_(1)^(x) g(t)dt$ ALLORA:
$G_(1)(-6)+G_(1)(10)=$ ?
io ho tentato il seguente ragionamento:
ho pensato che siccome l'integrale che devo cercare ha come estremo inferiore 1,posso scartare la funzione quando è $<0$ ...e ho calcolato prima $int_(1)^(3) 1=2$
e poi $int_(3)^(+oo) 6=oo$ qui mi sono incartato pensando di unire poi i 2 integrali e integrando la loro somma tra 1 e x...evidentemente è sbagliato!
non ho idee circa come procedere..molto probabilmente sbaglio a non considerare la funzione $<0$
qualcuno può correggermi qualora il metodo risolutivo sia sbagliato?:)
$G_(1)(-6)+G_(1)(10)=$ ?
io ho tentato il seguente ragionamento:
ho pensato che siccome l'integrale che devo cercare ha come estremo inferiore 1,posso scartare la funzione quando è $<0$ ...e ho calcolato prima $int_(1)^(3) 1=2$
e poi $int_(3)^(+oo) 6=oo$ qui mi sono incartato pensando di unire poi i 2 integrali e integrando la loro somma tra 1 e x...evidentemente è sbagliato!
non ho idee circa come procedere..molto probabilmente sbaglio a non considerare la funzione $<0$
qualcuno può correggermi qualora il metodo risolutivo sia sbagliato?:)
Risposte
"frab":
$G_1(-6)+G_1(10)$
Non è che va inteso così?
$ G_1(-6)=int_(-6)^(1) g(t)dt=int_(-6)^(0) -1dt+int_(0)^(1) 1dt $
(ovviamente in modo analogo per $G_1(10)$). Comunque questo esercizio mi sembra prestarsi a più interpretazioni...
Ok!sto provando a risolverlo ora!ma mi spieghi come hai deciso di integrare il tutto tra $-6$e $1$ ?vorrei capire il criterio!:)
Per $G_(1)(10)$? 10 e' l'estremo superiore?
Per $G_(1)(10)$? 10 e' l'estremo superiore?
Scusami ma secondo me non hai completamente chiara la teoria alla base di questo esercizio.
Comunque, hai capito come si definisce $int_(1)^(-6) g(t)dt$?
Perché l'esercizio è un'applicazione meccanica di questa definizione e di pochissime altre cosette...
Comunque, hai capito come si definisce $int_(1)^(-6) g(t)dt$?
Perché l'esercizio è un'applicazione meccanica di questa definizione e di pochissime altre cosette...
No questo vorrei capire!grazie!per l'aiuto! Non e' compreso tra $-6$e $1$ come suggerito dall'altro utente?
Per definizione $int_(1)^(-6) g(t)dt$= -$int_(-6)^(1) g(t)dt$ e ciò vale in generale.
Sia $[a,b]$ un intervallo chiuso, $c,d \in [a,b]$, $c
$int_(c)^(c) f(t)dt := 0$
I teoremi sugli integrali che conosci con queste definizioni restano più o meno gli stessi: ci sarebbe qualcosina da modificare ma non rientra in questo esercizio.
Sia $[a,b]$ un intervallo chiuso, $c,d \in [a,b]$, $c
$int_(c)^(c) f(t)dt := 0$
I teoremi sugli integrali che conosci con queste definizioni restano più o meno gli stessi: ci sarebbe qualcosina da modificare ma non rientra in questo esercizio.
Ok ora pero' come applicarli?quale potrebbe essere l'intervallo [a,b] nel mio caso?come potrei applicare tutto cio'?
Ti ringrazio ancora!!
Ti ringrazio ancora!!
Ringrazio Leonardo89 per la completezza; davo per scontato che sapessi che:
$ int_(a)^(b) f(x)dx=-int_(b)^(a) f(x)dx $
Si, solo che questa volta non è necessario invertire gli estremi d'integrazione.
Beh,è l'esercizio che te lo chiede...Voglio dire: il testo ti dice che $G_1(x)=int_(1)^(x)g(t)dt$ e ti chiede di calcolare la somma dei valori assunti da $G_1(x)$ rispettivamente per x=-6 e x=10; quindi si tratta solo di sostituire questi valori nell'estremo d'integrazione "incognito" (indicato appunto con x). Poi, come diceva Leonardo89, si tratta solo di applicare banalmente le nozioni base dell'integrazione (in questo caso integri delle costanti, quindi più semplice di così...). Ovviamente essendo la funzione continua a tratti, suddividerai ogni intervallo d'integrazione in base a come è definita la funzione, ossia per l'intervallo [-6,1] dovrai integrare g(x)=-1 tra -6 e 0 (proprio perchè la funzione vale -1 solo per x<0), mentre per il rimanente tratto (ossia [0,1]) dovrai integrare g(x)=1 (proprio perchè tale funzione è definita nell'intervallo [0,3]).
$ int_(a)^(b) f(x)dx=-int_(b)^(a) f(x)dx $
"frab":
Per G1(10)? 10 e' l'estremo superiore?
Si, solo che questa volta non è necessario invertire gli estremi d'integrazione.
"frab":
mi spieghi come hai deciso di integrare il tutto tra -6e 1 ?
Beh,è l'esercizio che te lo chiede...Voglio dire: il testo ti dice che $G_1(x)=int_(1)^(x)g(t)dt$ e ti chiede di calcolare la somma dei valori assunti da $G_1(x)$ rispettivamente per x=-6 e x=10; quindi si tratta solo di sostituire questi valori nell'estremo d'integrazione "incognito" (indicato appunto con x). Poi, come diceva Leonardo89, si tratta solo di applicare banalmente le nozioni base dell'integrazione (in questo caso integri delle costanti, quindi più semplice di così...). Ovviamente essendo la funzione continua a tratti, suddividerai ogni intervallo d'integrazione in base a come è definita la funzione, ossia per l'intervallo [-6,1] dovrai integrare g(x)=-1 tra -6 e 0 (proprio perchè la funzione vale -1 solo per x<0), mentre per il rimanente tratto (ossia [0,1]) dovrai integrare g(x)=1 (proprio perchè tale funzione è definita nell'intervallo [0,3]).
Bene COSI e' chiarissimo!comunque certo che sapevo che $int_(a)^(b) g(y)dy=-int_(b)^(a) g(y) dy$ e' una delle regole più facili da assimilare nel corso di analisi 
. Vi ringrazio per la disponibilita'!!!
. Vi ringrazio per la disponibilita'!!!
Di nulla;)
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