Quesito su Serie Assolutamente Convergente

[vangusto]

Ecco il quesito:

Provare che se $\sum_{k=1}^ooan$ è assolutamente convergente anche $\sum_{k=1}^oo (an)/(1+an)$ è assolutamente convergente.

Come lo devo svolgere? Grazie mille!

[Rigel1]

Qualche tuo tentativo?
(Puoi, ad esempio, iniziare a pensare cosa deve necessariamente fare il termine generale di una serie convergente.)

[Noisemaker]

Provo....


La convergenza di $ \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ implica la convergenza della serie $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $; allora, per il criterio di Cauchy, e grazie alla disuguaglianza triangolare, $\forall p,q\ge0,$ abbiamo:
\begin{align}
|a_p+a_{p+1}+...+a_{p+q} |\le |a_p|+|a_{p+1}|+...+|a_{p+q}|<\varepsilon
\end{align}
Considerando il termine generale della serie $\sum_{n=1}^{ \infty}\frac{ a_n }{1+a_n },$ allora avremo:
\begin{align*}
\big|\frac{ a_n }{1+a_n } \big|=\frac{ |a_p+a_{p+1}+...+a_{p+q} |}{|1+|a_p+a_{p+1}+...+a_{p+q} || }&\le\frac{ |a_p+a_{p+1}+...+a_{p+q} |}{ 1+|a_p+a_{p+1}+...+a_{p+q} | } \\
&\le\frac{|a_p|+|a_{p+1}|+...+|a_{p+q}|}{1+|a_p|+|a_{p+1}|+...+|a_{p+q}|}\\
&<\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon}
\end{align*}

dunque per il criterio di Cauchy anche la serie $\sum_{n=1}^{ \infty}\frac{ a_n }{1+a_n },$ converge assolutamente, e quindi semplicemente.

[Rigel1]

Beh no, dovresti stimare \(\sum_{n=p}^{p+q} \frac{a_n}{1+a_n}\) per poter applicare il criterio di Cauchy.
Più semplicemente, se la serie \(\sum a_n\) è convergente, allora \(\lim_n a_n = 0\); di conseguenza, esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che \(|a_n| \leq 1/2\) per ogni \(n\geq N\). Questo, in particolare, implica che per \(n\geq N\) si abbia \(\frac{|a_n|}{1+a_n} \leq \ldots\).