Quesito su limiti e continuità delle funzioni

[pizzi]

perché è falsa la seguente proposizione??

Se $f(x) a) f(x) $ e $ lim_(x -> a) g(x) $ esistono entrambi,
allora $ lim_(x -> a) f(x) < lim_(x -> a) g(x) $

non la capisco....cioè io dico...
per la permanenza del segno anche in un intorno di a, $f(x)

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Risposte

Paolo902

30 gen 2010, 16:07

Be', un primo controesempio potrebbe essere il seguente:

$f(x)=logx$ e $g(x)=x$. Mettiamoci in $(1,+oo)$. Evidentemente, $x>logx$ in ogni punto di questo intervallo.
Tuttavia,
$lim_(x to +oo) logx=lim_(x to +oo)x=+oo$

O forse intendevi con $a$ un punto e non $oo$?

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dissonance

30 gen 2010, 17:17

Paolo dice bene ma si può essere più specifici. La proposizione è falsa perché la disuguaglianza $f(x)con il segno di minore o uguale.

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pizzi

30 gen 2010, 18:45

vuoi dire che $f(x) a) f(x) leq lim_(x -> a) g(x) $ per ogni $a$ finito o infinito??

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dissonance

30 gen 2010, 23:31

Yes.

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pizzi

31 gen 2010, 09:07

non è per mancanza di fede....ma come si fa la dimostrazione di una cosa del genere?? c'è un teorema??

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gugo82

31 gen 2010, 09:45

Certo che c'è, altrimenti come verrebbe fuori il teorema dei carabinieri?
Queste sono cose che si fanno all'inizio della teoria dei limiti, con tutti gli esempi e controesempi annessi e connessi; dovresti trovare la dimostrazione più o meno su tutti i testi di Analisi.

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pizzi

31 gen 2010, 10:30

si infatti era quello il capitolo da cui viene l'esercizio....ma il mio libro (Adams) non riporta la dimostrazione di quello che chiama teorema di compressione...vabbè...ho guardato sul libro del liceo senza però trovare delle risposte...ma...ultime due domande (forse..) uno..la dimostrazione si fa usando la definizione di limite no?? due..un po OT ma mi consigliate al volo un libro migliore per completare la preparazione all'esame?? perché l'Adams spesso non mi entusiasma moltissimo...

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gugo82

31 gen 2010, 10:55

Ma l'ho detto milioni di volte: se studiate Analisi, lasciate perdere i libri di Calculus americani... Cioè, è proprio un altro mondo!

Ad ogni modo, il teorema si dimostra applicando il Teorema della permanenza del segno e per assurdo.
Supponi che [tex]$fL=:\lim_{x\to a} g(x)$[/tex]: ne consegue che [tex]$\lim_{x\to a} f(x)-g(x) =l-L>0$[/tex] cosicché, per per permanenza del segno, esiste un intorno [tex]$I$[/tex] di [tex]$a$[/tex] tale che per [tex]$x\in I\cap X\cap Y$[/tex] risulta [tex]$f(x)-g(x)>0$[/tex] cioè [tex]$f(x)>g(x)$[/tex]. Ma ciò è assurdo perchè [tex]$f
Che poi la disuguaglianza stretta [tex]$\lim_{x\to a} f(x):=l
- ad esempio, si ha [tex]$\frac{1}{x^2} <\frac{1}{x}$[/tex] in [tex]$[2,+\infty[$[/tex], epperò [tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^2} =0=\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}$[/tex];

- oppure è [tex]$e^{-|x|} < e^{|x|}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex], però [tex]$\lim_{x\to 0} e^{-|x|} =1=\lim_{x\to 0} e^{|x|}$[/tex];

- ovvero [tex]$\frac{1}{x} <\frac{1}{x^2}$[/tex] in [tex]$]0,\frac{1}{2}]$[/tex], ma [tex]$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} =+\infty =\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^2}$[/tex].

Per quanto riguarda un libro di Analisi serio, dipende molto da che facoltà frequenti; quindi, prima di darti un consiglio vorrei avere questa informazione, se non ti dispiace.

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pizzi

31 gen 2010, 10:58

grazie mille!! ora me la leggo per bene..
comunque io faccio ingegneria industriale...e analisi 1 vale 12 crediti...

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gugo82

31 gen 2010, 11:09

E allora prendi un libro di Analisi degno di un esame da 12 crediti.

Che sò, Marcellini-Sbordone, Giusti, Fiorenza-Greco, Acerbi-Buttazzo (tutti rigorosamente in versione vecchio ordinamento, però!)... Ce ne sono millemila di buoni ed ottimi testi.
Per trovare quello più adatto alle tue esigenze dovresti farti una scampagnata di mezza giornata in biblioteca di facoltà, oppure in quella del dipartimento di Matematica.

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pizzi

31 gen 2010, 13:00

il Marcellini-Sbordone l'avevo già (scaricato da internet), mi è già stato utile anche se è la versione nuova...il Giusti sta per arrivare anche lui (con lo stesso metodo!!) e prossimamente farò anche un giro in biblioteca sicuramente!!
grazie veramente per i consigli!!

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[Paolo902]

Be', un primo controesempio potrebbe essere il seguente:

$f(x)=logx$ e $g(x)=x$. Mettiamoci in $(1,+oo)$. Evidentemente, $x>logx$ in ogni punto di questo intervallo.
Tuttavia,
$lim_(x to +oo) logx=lim_(x to +oo)x=+oo$

O forse intendevi con $a$ un punto e non $oo$?

[dissonance]

Paolo dice bene ma si può essere più specifici. La proposizione è falsa perché la disuguaglianza $f(x)con il segno di minore o uguale.

[pizzi]

vuoi dire che $f(x) a) f(x) leq lim_(x -> a) g(x) $ per ogni $a$ finito o infinito??

[dissonance]

Yes.

[pizzi]

non è per mancanza di fede....ma come si fa la dimostrazione di una cosa del genere?? c'è un teorema??

[gugo82]

Certo che c'è, altrimenti come verrebbe fuori il teorema dei carabinieri?
Queste sono cose che si fanno all'inizio della teoria dei limiti, con tutti gli esempi e controesempi annessi e connessi; dovresti trovare la dimostrazione più o meno su tutti i testi di Analisi.

[pizzi]

si infatti era quello il capitolo da cui viene l'esercizio....ma il mio libro (Adams) non riporta la dimostrazione di quello che chiama teorema di compressione...vabbè...ho guardato sul libro del liceo senza però trovare delle risposte...ma...ultime due domande (forse..) uno..la dimostrazione si fa usando la definizione di limite no?? due..un po OT ma mi consigliate al volo un libro migliore per completare la preparazione all'esame?? perché l'Adams spesso non mi entusiasma moltissimo...

[gugo82]

Ma l'ho detto milioni di volte: se studiate Analisi, lasciate perdere i libri di Calculus americani... Cioè, è proprio un altro mondo!

Ad ogni modo, il teorema si dimostra applicando il Teorema della permanenza del segno e per assurdo.
Supponi che [tex]$fL=:\lim_{x\to a} g(x)$[/tex]: ne consegue che [tex]$\lim_{x\to a} f(x)-g(x) =l-L>0$[/tex] cosicché, per per permanenza del segno, esiste un intorno [tex]$I$[/tex] di [tex]$a$[/tex] tale che per [tex]$x\in I\cap X\cap Y$[/tex] risulta [tex]$f(x)-g(x)>0$[/tex] cioè [tex]$f(x)>g(x)$[/tex]. Ma ciò è assurdo perchè [tex]$f
Che poi la disuguaglianza stretta [tex]$\lim_{x\to a} f(x):=l
- ad esempio, si ha [tex]$\frac{1}{x^2} <\frac{1}{x}$[/tex] in [tex]$[2,+\infty[$[/tex], epperò [tex]$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^2} =0=\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}$[/tex];

- oppure è [tex]$e^{-|x|} < e^{|x|}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R} \setminus \{ 0\}$[/tex], però [tex]$\lim_{x\to 0} e^{-|x|} =1=\lim_{x\to 0} e^{|x|}$[/tex];

- ovvero [tex]$\frac{1}{x} <\frac{1}{x^2}$[/tex] in [tex]$]0,\frac{1}{2}]$[/tex], ma [tex]$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} =+\infty =\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x^2}$[/tex].

Per quanto riguarda un libro di Analisi serio, dipende molto da che facoltà frequenti; quindi, prima di darti un consiglio vorrei avere questa informazione, se non ti dispiace.

[pizzi]

grazie mille!! ora me la leggo per bene..
comunque io faccio ingegneria industriale...e analisi 1 vale 12 crediti...

[gugo82]

E allora prendi un libro di Analisi degno di un esame da 12 crediti.

Che sò, Marcellini-Sbordone, Giusti, Fiorenza-Greco, Acerbi-Buttazzo (tutti rigorosamente in versione vecchio ordinamento, però!)... Ce ne sono millemila di buoni ed ottimi testi.
Per trovare quello più adatto alle tue esigenze dovresti farti una scampagnata di mezza giornata in biblioteca di facoltà, oppure in quella del dipartimento di Matematica.

[pizzi]

il Marcellini-Sbordone l'avevo già (scaricato da internet), mi è già stato utile anche se è la versione nuova...il Giusti sta per arrivare anche lui (con lo stesso metodo!!) e prossimamente farò anche un giro in biblioteca sicuramente!!
grazie veramente per i consigli!!