Quesito su limite con numero di Neplero parte 2°
Grazie alla spiegazione di @melia in un post precedente (Quesito su limite con numero di Neplero) ho capito la procedura per la risoluzione del seguente limite:
$lim_(x->-oo)(x-6)^2/e^x=(-oo)^2/(e^(-oo))=(+oo)/(0^+)=+oo*1/(0^+)=+oo*(+oo)=+oo$
Siccome si tratta di un limite calcolato per lo studio della funzione $(x-6)^2/e^x$, e visto che il risultato è $+oo$, ci potrebbe essere un asintoto obliquio.
La formula per trovare l'asintoto obliquo è $y=mx+q$ dove $m$ è dato dal $lim_(x->-oo)(x-6)^2/e^x*1/x=(x-6)^2/(x*e^x)$
Se provo a calcolare il limite $lim_(x->-oo)(x-6)^2/e^x*1/x=(x-6)^2/(x*e^x)$ ottengo:
$lim_(x->-oo)(x-6)^2/(x*e^x)=(-oo)^2/(-oo*e^(-oo))=(+oo)/(-oo*0^+)=+oo/-oo$
Guardando il grado del polinomio al numeratore e al denomintatore, $n(x)>d(x)$ quindi il risultato è $-oo$ di conseguenza l'asintoto obliquo non esiste!
E' corretto ciò che ho detto o si risolve in altro modo?
Grazie anticipatamente a tutti!
$lim_(x->-oo)(x-6)^2/e^x=(-oo)^2/(e^(-oo))=(+oo)/(0^+)=+oo*1/(0^+)=+oo*(+oo)=+oo$
Siccome si tratta di un limite calcolato per lo studio della funzione $(x-6)^2/e^x$, e visto che il risultato è $+oo$, ci potrebbe essere un asintoto obliquio.
La formula per trovare l'asintoto obliquo è $y=mx+q$ dove $m$ è dato dal $lim_(x->-oo)(x-6)^2/e^x*1/x=(x-6)^2/(x*e^x)$
Se provo a calcolare il limite $lim_(x->-oo)(x-6)^2/e^x*1/x=(x-6)^2/(x*e^x)$ ottengo:
$lim_(x->-oo)(x-6)^2/(x*e^x)=(-oo)^2/(-oo*e^(-oo))=(+oo)/(-oo*0^+)=+oo/-oo$
Guardando il grado del polinomio al numeratore e al denomintatore, $n(x)>d(x)$ quindi il risultato è $-oo$ di conseguenza l'asintoto obliquo non esiste!
E' corretto ciò che ho detto o si risolve in altro modo?
Grazie anticipatamente a tutti!
Risposte
Berh sì, ma forse ti puoi semplificare la vita facendo questa osservazione (alla fine probabilmente hai scritto più di quello che ti era necessario). Se fai un confronto locale per il calcolo del limite hai la seguente situazione
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{(x-6)^2}{x\cdot e^x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x\cdot e^x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{e^x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x\cdot e^{-x}=-\infty\cdot(+\infty)=-\infty$
anche se, bada bene, il penultimo membro (il prodotto degli infiniti) non andrebbe scritto!
In generale, quando hai una funzione del tipo
$\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot e^{\pm x}$
con $P(x)=ax^n+\ldots$, $Q(x)=b x^m+\ldots$ polinomi e ne devi calcolare il limite all'infinito, puoi usare la relazione
$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot e^{\pm x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{ax^n}{b x^m}\cdot e^{\pm x}$
e ragionare solo sul secondo membro.
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{(x-6)^2}{x\cdot e^x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2}{x\cdot e^x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{e^x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}x\cdot e^{-x}=-\infty\cdot(+\infty)=-\infty$
anche se, bada bene, il penultimo membro (il prodotto degli infiniti) non andrebbe scritto!
In generale, quando hai una funzione del tipo
$\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot e^{\pm x}$
con $P(x)=ax^n+\ldots$, $Q(x)=b x^m+\ldots$ polinomi e ne devi calcolare il limite all'infinito, puoi usare la relazione
$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot e^{\pm x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{ax^n}{b x^m}\cdot e^{\pm x}$
e ragionare solo sul secondo membro.
Ciao Ciampax,
grazie per la tua chiara ed esaudiente risposta!
Avrei bisogno solo di un chiarimento sulla tua risposta.
Riportando quello che mi hai detto:
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In generale, quando hai una funzione del tipo
$\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot e^{\pm x}$
con $P(x)=ax^n+\ldots$, $Q(x)=b x^m+\ldots$ polinomi e ne devi calcolare il limite all'infinito, puoi usare la relazione
$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot e^{\pm x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{ax^n}{b x^m}\cdot e^{\pm x}$
e ragionare solo sul secondo membro.
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volevo capire se nella relazione $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{ax^n}{b x^m}\cdot e^{\pm x}$ devo riportare solo gli esponenti $x$ di grado massimo.
Grazie ancora!
Buonagiornata!
grazie per la tua chiara ed esaudiente risposta!
Avrei bisogno solo di un chiarimento sulla tua risposta.
Riportando quello che mi hai detto:
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In generale, quando hai una funzione del tipo
$\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot e^{\pm x}$
con $P(x)=ax^n+\ldots$, $Q(x)=b x^m+\ldots$ polinomi e ne devi calcolare il limite all'infinito, puoi usare la relazione
$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot e^{\pm x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{ax^n}{b x^m}\cdot e^{\pm x}$
e ragionare solo sul secondo membro.
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volevo capire se nella relazione $\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{ax^n}{b x^m}\cdot e^{\pm x}$ devo riportare solo gli esponenti $x$ di grado massimo.
Grazie ancora!
Buonagiornata!
Esattamente, solo quelli.... ma solo per i limiti che tendono a più infinito!
Grazie ancora! Gentilissimo!
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