Quesito serie di Fourier

[phigreco1]

Si consideri la funzione f(x) $2pi$-periodica con sviluppo di Fourier: $f~~ 4/pi sum_(k=0)^(oo) 1/(2k+1) sin((2k+1)x)$

Allora:

[a] $int_(-pi)^pi f(x) dx= 4/pi$

$int_(-pi)^pi f(x) sinxdx= 4/pi$

[c] $int_(-pi)^pi f(x)sin(3x) dx=4/3$

[d] $int_(-pi)^pi f(x)cos(2x) dx = 1/3$[/list:u:ujpvbjri]

La funzione con quello sviluppo dovrebbe essere dispari! Tutti quegli integrali con il seno, integrati in quell'intervallo simmetrico, non dovrebbero essere nulli?!
La risposta corretta è la C ma non capisco il perché! O meglio:

Il mio ragionamento è il seguente:
La serie data è dispari con il termine $a_k=0 AA k>=0$, quindi:

[a] quell'integrale non ha senso in quanto manca il seno che è diverso da 0 $AAk$
integrale errato in quanto non esistono $k$ per cui $(sin(2k+1)x)=sinx$
[d] quel coseno da dove spunta se si tratta di una serie dispari? $=>$ quell'integrale dovrebbe essere nullo
[c] L'unica spiegazione che riesco a darmi è:

$b_k= 1/pi int_0^(2pi) f(x)sin(kx)= 4/pi 1/(2k+1) $
$=> b_0= 4/pi 1/3 = 1/pi int_0^(2pi) f(x) sin(3x) dx$
$=> b_0 = 4/3 = int_0^(2pi) f(x) sin(3x) dx = int_(-pi)^(pi) f(x) sin(3x) dx$
[/list:u:ujpvbjri]
Ma ribadisco il concetto che secondo me quell'integrale dovrebbe essere nullo su $[-pi,pi]$

[Quinzio]

La serie è dispari, vero.
Anche il seno e' una funzione dispari.
Se moltiplichi due funzioni dispari hai una funzione pari, quindi quegli integrali col seno non sono nulli.
Es. $x$ è una funzione dispari, ma $x*x = x^2$ è pari.

[phigreco1]

Ottima osservazione. Grazie mille Quinzio!