Quesito particolare ODE
bonjour!
sono incappato in questo quesito :
$y' + 3x^2e^y = 0 $
$y(0) = b , b in RR $
mi chiede che condizione devo porre su b affinchè la sol sia definita almeno su (-1,+inf).
Allora io ho notato che la soluzione deve avere derivata negativa per ogni x, inoltre in zero ha derivata nulla.
Facendo un pò di giri ho trovato che una soluzione dell'eq diff è $log(1/x^3)$ anche se non mi serve a nulla infatti non è nemmeno definita in $x = 0$ .
Ho notato che l'intervallo di esistenza della sol dipende solo dalla soluzione y, nel senso che la scrittura di y' non pone limitazioni dell'intervallo a meno di ciò che fa la y.
Se la qualcuno potesse darmi un hint gli sarei grato!
sono incappato in questo quesito :
$y' + 3x^2e^y = 0 $
$y(0) = b , b in RR $
mi chiede che condizione devo porre su b affinchè la sol sia definita almeno su (-1,+inf).
Allora io ho notato che la soluzione deve avere derivata negativa per ogni x, inoltre in zero ha derivata nulla.
Facendo un pò di giri ho trovato che una soluzione dell'eq diff è $log(1/x^3)$ anche se non mi serve a nulla infatti non è nemmeno definita in $x = 0$ .
Ho notato che l'intervallo di esistenza della sol dipende solo dalla soluzione y, nel senso che la scrittura di y' non pone limitazioni dell'intervallo a meno di ciò che fa la y.
Se la qualcuno potesse darmi un hint gli sarei grato!
Risposte
Prova a risolvere l'equazione per bene.
La soluzione del PdC è \(y = -\log(x^3+e^{-b})\), con \(x \in I_b := (-e^{-b/3}, +\infty)\).
La soluzione del PdC è \(y = -\log(x^3+e^{-b})\), con \(x \in I_b := (-e^{-b/3}, +\infty)\).
ok la tua soluzione soddisfa l'ODE ma anch'essa non è mai definita in $x=0$ dunque che cosa posso dire riguardo a b?
in ogni caso è un'esercizio di un tema d'esame, ergo mi sembra strano che chiedano di inventarsi soluzioni dell'ODE, penso invece che dal problema di Cauchy si debbano estrapolare informazioni.
in ogni caso è un'esercizio di un tema d'esame, ergo mi sembra strano che chiedano di inventarsi soluzioni dell'ODE, penso invece che dal problema di Cauchy si debbano estrapolare informazioni.
ho trovato un'altra plausibile soluzione
$y=-log(x^3+e^b)$ la quale perlomeno ammette lo zero e qualche valore negativo nell'intervallo di definizione.
imponendo $x^3+e^b > 0$
arrivo a $x > -e^(b/3)$
e se io voglio avere un intervallo almeno (-1, + infinito)
deve essere $-e^(b/3) <= -1$ che mi da $b/3 >= 0$
se non che $y(0) = -b$ , ma dalla condizione iniziale so che $y(0) = b$
dunque b deve essere uguale a zero.
e non trovo nessunissimo intervallo dunque, ma solo un valore ammissibile di b.
(la mia perplessità nasce dal fatto che le risposte al quesito erano 4:
1)b<0
2)b>0
3)b<=0
4)b>=0 )
$y=-log(x^3+e^b)$ la quale perlomeno ammette lo zero e qualche valore negativo nell'intervallo di definizione.
imponendo $x^3+e^b > 0$
arrivo a $x > -e^(b/3)$
e se io voglio avere un intervallo almeno (-1, + infinito)
deve essere $-e^(b/3) <= -1$ che mi da $b/3 >= 0$
se non che $y(0) = -b$ , ma dalla condizione iniziale so che $y(0) = b$
dunque b deve essere uguale a zero.
e non trovo nessunissimo intervallo dunque, ma solo un valore ammissibile di b.
(la mia perplessità nasce dal fatto che le risposte al quesito erano 4:
1)b<0
2)b>0
3)b<=0
4)b>=0 )
Sì, scusami, avevo scritto male un segno nella soluzione (adesso dovrebbe essere a posto).
Ne ho trovato un altro della stessa tipologia, magari può aiutare avere un altro esempio:
$y' = (cosx)e^(y+2)$
$ y(0) = b $
dice "allora la soluzione è definita su tutto l'asse reale se e solo se b<-2, b>-2, b<=-2 o b>=-2.
Secondo me c'è una strada più veloce di quella che consiste nel cercare una soluzione etcetc.. Anche se non mi viene proprio in mente!
$y' = (cosx)e^(y+2)$
$ y(0) = b $
dice "allora la soluzione è definita su tutto l'asse reale se e solo se b<-2, b>-2, b<=-2 o b>=-2.
Secondo me c'è una strada più veloce di quella che consiste nel cercare una soluzione etcetc.. Anche se non mi viene proprio in mente!
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