Quesito funzione inversa
Avrei da porvi il seguente quesito:
data la seguente funzione:
$f(x)=e^x||x|-1|$
detta $phi(t)$ la funzione inversa della restrizione di f(x) a $[1,+oo)$,calcolare il dominio di $phi(t)$ e $phi^{\prime}(e^2)$
[asvg]axes();
stroke="black";
plot("Math.E^x*abs(abs(x)-1)");[/asvg]
Come si può intuire dal grafico la funzione nell'intervallo $[1,+oo)$ ha codominio uguale a $[0,+oo)$.Quindi il dominio della funzione inversa sarà nient'altro che il codominio della nostra funzione.
Invece il secondo quesito ovvero calcolare $phi^{\prime}(e^2)$ non mi è chiaro. Mi avevano detto che devo usare il teorema di derivazione delle funzioni inverse. Ma non mi è chiaro in che modo.
data la seguente funzione:
$f(x)=e^x||x|-1|$
detta $phi(t)$ la funzione inversa della restrizione di f(x) a $[1,+oo)$,calcolare il dominio di $phi(t)$ e $phi^{\prime}(e^2)$
[asvg]axes();
stroke="black";
plot("Math.E^x*abs(abs(x)-1)");[/asvg]
Come si può intuire dal grafico la funzione nell'intervallo $[1,+oo)$ ha codominio uguale a $[0,+oo)$.Quindi il dominio della funzione inversa sarà nient'altro che il codominio della nostra funzione.
Invece il secondo quesito ovvero calcolare $phi^{\prime}(e^2)$ non mi è chiaro. Mi avevano detto che devo usare il teorema di derivazione delle funzioni inverse. Ma non mi è chiaro in che modo.
Risposte
Ti consiglio, innanzitutto, di vedere la tua funzione, nella seguente maniera:
$f(x)=e^x(x-1)$
ovviamente solo nell'intervallo $[1,+\infty)$ (in questo intervallo è positiva sia $x$, quindi $|x|=x$, che $x-1$, quindi $|x-1|=x-1$).
Il codominio costituisce l'insieme dei valori che la funzione può assumere, e nell'intervallo detto (vedi il grafico in questo intervallo), è facile notare che è $[0,\infty)$.
Per il secondo punto prova a vedere qui http://www.matematicaescuola.it/Domande ... nversa.pdf
c'è un esempio.
$f(x)=e^x(x-1)$
ovviamente solo nell'intervallo $[1,+\infty)$ (in questo intervallo è positiva sia $x$, quindi $|x|=x$, che $x-1$, quindi $|x-1|=x-1$).
Il codominio costituisce l'insieme dei valori che la funzione può assumere, e nell'intervallo detto (vedi il grafico in questo intervallo), è facile notare che è $[0,\infty)$.
Per il secondo punto prova a vedere qui http://www.matematicaescuola.it/Domande ... nversa.pdf
c'è un esempio.
"K.Lomax":
Ti consiglio, innanzitutto, di vedere la tua funzione, nella seguente maniera:
$f(x)=e^x(x-1)$
ovviamente solo nell'intervallo $[1,+\infty)$ (in questo intervallo è positiva sia $x$, quindi $|x|=x$, che $x-1$, quindi $|x-1|=x-1$).
Il codominio costituisce l'insieme dei valori che la funzione può assumere, e nell'intervallo detto (vedi il grafico in questo intervallo), è facile notare che è $[0,\infty)$.
Per il secondo punto prova a vedere qui http://www.matematicaescuola.it/Domande ... nversa.pdf
c'è un esempio.
Si certo la funzione bisogna considerarla nel modo che hai scritto tu.Dunque scrivo i calcoli sviluppati da me qualora qualcuno come me si trovi nella mia stessa situazione.
Consideriamo la funzione:
$f(x)=e^x(x-1)$ ristretta nell'intervallo $[0,+oo)$
Osserviamo che risulta: $f(2)=e^2$
Calcoliamo la derivata prima:
$f^{\prime}(x)=xe^x>0$ che risulta $>0$ per ogni $x>0$
$f^{\prime}(2)=2e^2$
$D(f^-1(y))_(y=e^2)=1/(f^{\prime}(2))=1/(2e^2)$
Spero che i calcoli effettuati siano corretti.Qualcuno più esperiente di me controlli se il ragionamento è giusto
Ok 
L'intervallo da considerare è $[1, +\infty)$ come aveva suggerito K.Lomax , e non $[0, +\infty)$, probabilmente hai digitato male 
"Mathematico":
L'intervallo da considerare è $[1, +\infty)$ come aveva suggerito K.Lomax , e non $[0, +\infty)$, probabilmente hai digitato male
Ops. Scusate. Si ho digitato male.
Sinceramente stavo per correggerlo anche io ma poi ho pensato (erroneamente, date le scuse di mazzy ) che l'intervallo lui lo intedesse riferito a $f(x)$.
) che l'intervallo lui lo intedesse riferito a $f(x)$.
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