Quesito di teoria sulla differenzibilità

[Spilla1]

Svolgendo alcune simulazioni di temi d'esame di analisi 2 mi sono imbattuto in questa domanda :

sia f una funzione in due variabili, che sia derivabile ma non continua in un suo punto. è possibile che sia differenziabile in tale punto? giustificare la risposta.

considerando le due condizioni (quella necessaria e quella sufficiente) di differenziabilità non riesco ad arrivare ad una risposta univoca. qualcuno è in grado di aiutarmi? grazie

[Seneca1]

Quale definizione hai di differenziabilità?

[Spilla1]

Questa è la definizione che ho di differenziabilità:

Per n=2
f (x0 +h, y0 +k) – f(x0 , y0 ) = gradiente (f(x0 , y0 ) * (h,k) + o( ||h,k|| )
ho indicato con * il prodotto scalare mentre l’ultimo termine è un o-piccolo della norma di (h,k)

Per n generico
f (x0 +h) – f(x0 ) = gradiente (f(x0 ) * (h) + o( ||h|| )
considerando x0 e h come vettori.

[Seneca1]

$f$ è differenziabile in $(x_0 , y_0)$ se vale la formula di approssimazione lineare in $(x_0 , y_0)$. Ma da quest'ultima si conclude immediatamente che la funzione è continua in $(x_0 , y_0)$ (perché?).

[paolotesla91]

scusami seneca ma la risposta è immediata..la funzione non è differenziabile in quello stesso punto semplicemente perchè non è continua in tale punto e la differenziabilità implica la continuità!

[Seneca1]

Ma certo, è quello che ho scritto. Se fosse differenziabile dovrebbe necessariamente essere continua.

[paolotesla91]

ah capito allora scusa non avevo letto bene il messaggio xD

[Spilla1]

ok, allora è come pensavo io. grazie mille!!