Quesito di Analisi Uno
Buongiorno, ho iniziato a studiare Analisi Uno e vorrei alcuni chiarimenti:
- Sul libro dice che $0/0$ non puo' essere chiamata forma indeterminata poichè definendo l'operazione di divisione di a e b come il prodotto di a con il reciproco di b allora non esistendo il reciproco di 0 $0/0$ non è definita (Precisando invece che tale forma indeterminata puo' essere usata se $a/b$ fosse la soluzione dell'equazione $bx = a$. E' corretto? Al Liceo si è sempre parlato di forma indeterminata.
Veniamo ad un esecizio teorico di dimostrazione:
"Per ogni numero reale a, si ha -(-a) = a"
Ecco la mia dimostrazione:
Dalla definizione di opposto abbiamo che $a + (-a) = 0$ quindi -a è l'opposto di a, ma abbiamo che $(-a) + (-(-a)) = 0$ da cui posso dire che $a + (-a) = (-(-a)) + (-a)$ da cui $a = -(-a)$, è corretta formalmente?
Grazie.
- Sul libro dice che $0/0$ non puo' essere chiamata forma indeterminata poichè definendo l'operazione di divisione di a e b come il prodotto di a con il reciproco di b allora non esistendo il reciproco di 0 $0/0$ non è definita (Precisando invece che tale forma indeterminata puo' essere usata se $a/b$ fosse la soluzione dell'equazione $bx = a$. E' corretto? Al Liceo si è sempre parlato di forma indeterminata.
Veniamo ad un esecizio teorico di dimostrazione:
"Per ogni numero reale a, si ha -(-a) = a"
Ecco la mia dimostrazione:
Dalla definizione di opposto abbiamo che $a + (-a) = 0$ quindi -a è l'opposto di a, ma abbiamo che $(-a) + (-(-a)) = 0$ da cui posso dire che $a + (-a) = (-(-a)) + (-a)$ da cui $a = -(-a)$, è corretta formalmente?
Grazie.
Risposte
Forma indeterminata e mancanza di definizione sono due cose diverse; solitamente si parla di forma indeterminata quando si ha a che fare con un'espressione derivante da una sostituzione formale per un passaggio al limite. Per altro, in tal caso, l'espressione $0/0$ in sè non è definita, sebbene sia anche una forma indeterminata per i limiti.
Ci sono casi di espressioni definite ma che sono anche forme di indeterminazione per il calcolo dei limiti, la celebre forma $0^0$ tanto discussa in questo forum.
Ci sono casi di espressioni definite ma che sono anche forme di indeterminazione per il calcolo dei limiti, la celebre forma $0^0$ tanto discussa in questo forum.
Ciao,
non ho mai visto questa defnizione in nessun libro di analisi. Io direi che 0/0 è indeterminata pensando al comportamento delle successioni:
an/bn = cn. Se an e bn sono entrambe divergenti il rapporto potrebbe comportarsi in modo diverso (convergere, divergere o oscillare). Questo deriva da un teorema che dice che *se due successioni sono entrambe divergenti, la somma dei limiti è il limite della somma, *se non sono l'una divergente e l'altra infinitesima il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, *se non sono entrambe infinitesime o oscillanti il limite del rapporto è il rapporto dei limiti. I casi di forma indeterminata sono quelli esclusi dal teorema. Cioè non vedrei il concetto di forma indeterminata legato al fatto che non si può dividere 0 per 0.
Adesso non ho sotto mano un testo di analisi, ma mi sembra proprio che la questione sia questa (su che libro stai studiando?).
non ho mai visto questa defnizione in nessun libro di analisi. Io direi che 0/0 è indeterminata pensando al comportamento delle successioni:
an/bn = cn. Se an e bn sono entrambe divergenti il rapporto potrebbe comportarsi in modo diverso (convergere, divergere o oscillare). Questo deriva da un teorema che dice che *se due successioni sono entrambe divergenti, la somma dei limiti è il limite della somma, *se non sono l'una divergente e l'altra infinitesima il limite del prodotto è il prodotto dei limiti, *se non sono entrambe infinitesime o oscillanti il limite del rapporto è il rapporto dei limiti. I casi di forma indeterminata sono quelli esclusi dal teorema. Cioè non vedrei il concetto di forma indeterminata legato al fatto che non si può dividere 0 per 0.
Adesso non ho sotto mano un testo di analisi, ma mi sembra proprio che la questione sia questa (su che libro stai studiando?).
Il libro da cui sto studiando è "Analisi Uno" di Giuseppe de Marco.
Riporto lo scritto integrale del libro (potrei aver mancato delle parti nel mio riassunto):
"Sul simbolo $0/0$. Abbiamo visto che non puo' esistere reciproco per il numero 0. Quindi l'espressione $a/0$ non ha mai significato, qualunque sia $a$, anche se $a = 0$. Pertanto $0/0$ non esiste, cioè è una scrittura alla quale non abbiamo dato alcun senso. Su alcuni testi è scritto che $0/0$ è indeterminato, cioè rappresenta qualsiasi numero. Questi testi avrebbero ragione qualora avessero definito l'espressione $a/b$ come la soluzione dell'equazione $bx = a$ (nell'incognita $x$). Infatti è chiaro che l'equazione $0*x = 0$ è soddisfatta da qualsiasi numero. Noi abbiamo detto invece che $a/b$ è uguale ad $a$ per il reciproco di $b$. Poichè 0 non ha reciproco tutti i simboli in cui compaia 0 al denominatore sono per noi privi di senso."
Ecco
PS: C'è da aggiungere che questo scritto si trova all'inizio del libro sulla teoria di base.
Riporto lo scritto integrale del libro (potrei aver mancato delle parti nel mio riassunto):
"Sul simbolo $0/0$. Abbiamo visto che non puo' esistere reciproco per il numero 0. Quindi l'espressione $a/0$ non ha mai significato, qualunque sia $a$, anche se $a = 0$. Pertanto $0/0$ non esiste, cioè è una scrittura alla quale non abbiamo dato alcun senso. Su alcuni testi è scritto che $0/0$ è indeterminato, cioè rappresenta qualsiasi numero. Questi testi avrebbero ragione qualora avessero definito l'espressione $a/b$ come la soluzione dell'equazione $bx = a$ (nell'incognita $x$). Infatti è chiaro che l'equazione $0*x = 0$ è soddisfatta da qualsiasi numero. Noi abbiamo detto invece che $a/b$ è uguale ad $a$ per il reciproco di $b$. Poichè 0 non ha reciproco tutti i simboli in cui compaia 0 al denominatore sono per noi privi di senso."
Ecco
PS: C'è da aggiungere che questo scritto si trova all'inizio del libro sulla teoria di base.
Mi spiazza un po', ricordo che il mio prof di analisi, diceva che non è vero che le forme indeterminate sono prive di significato. Mi piacerebbe sapere dunque come calcola i limiti che conducono a 0/0: dice che non esistono? lim (x^2+2x-8)/(x-2) per x che tende a 2...se 0/0 non ha senso vuol dire che il limite non ha senso? Quindi non si deve sciogliere alcuna indeterminazione. 
Guarda non saprei, come dicevo questo testo si trova all'inizio del libro, i limiti si trovano 200 pagine dopo circa , al momento non saprei cosa dirti. 
Nella mia risposta sta scritta la risposta ai vostri dubbi, mi sa che o non l'avete letta o non l'avete capita. Forma indeterminata e mancanza di definizione sono due cose diverse.
Credo di aver capito ora Luca, ho riletto quella parte per capire meglio e concatenando con il tuo post ho capito. Il libro si esprime solo sulla definizione che non esiste di $0/0$ mentre la forma indeterminata è cosa diversa che viene usata nel seguito.
Esatto, se tutti i limiti della forma $0/0$ non esistessero perchè $0/0$ è un'operazione non definita saremmo veramente nei guai...
Troppo spesso le persone scambiano le forme indeterminate con le operazioni ad esse associate; le forme indeterminate sono solo scritture formai che derivano da sostituzioni formali che uno fa nel calcolo dei limiti.
Troppo spesso le persone scambiano le forme indeterminate con le operazioni ad esse associate; le forme indeterminate sono solo scritture formai che derivano da sostituzioni formali che uno fa nel calcolo dei limiti.
Allora credo che forse al Liceo danno una nozione parzialmente giusta o sbaglio?
Per quanto concerne la dimostrazione che ho fatto su dell'esercizio è corretta?
Per quanto concerne la dimostrazione che ho fatto su dell'esercizio è corretta?
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