Quesito di Analisi 2

[Sk_Anonymous]

Sia data la funzione da $RR^2$ in $RR$ definita da:

$f(x,y)=\frac{x^2(1-\cosy)}{x^2+y^2}+\frac{1}{1-\log(1-x^2)}$

determinare il dominio $E$ e descrivere tale insieme. Prolungare per continuità la funzione ove possibile.
Constatare che $f$ è di classe $C^1$ su $E$.

La funzione ammette come dominio tutti i punti tranne l'origine. $E$ è pertanto aperto, non limitato, connesso e non convesso.
Si ha che $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1$.
Come faccio a constatare che $f$ è di classe $C^1$?

[raff5184]

"matths87":Sia data la funzione da $RR^2$ in $RR$ definita da:

$f(x,y)=\frac{x^2(1-\cosy)}{x^2+y^2}+\frac{1}{1-\log(1-x^2)}$

determinare il dominio $E$ e descrivere tale insieme. Prolungare per continuità la funzione ove possibile.
Constatare che $f$ è di classe $C^1$ su $E$.

La funzione ammette come dominio tutti i punti tranne l'origine. $E$ è pertanto aperto, non limitato, connesso e non convesso.
Si ha che $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=1$.
Come faccio a constatare che $f$ è di classe $C^1$?

Applicando la definizione di funzione di classe $C^1$

[_Tipper]

Occhio quando calcoli il dominio, devi tener conto anche del logaritmo e del denominatore del secondo termine...

[Paolo902]

Allora, partiamo dalla seguente

DEFINIZIONE. Sia data una funzione $f: A to RR$ con $A$ sottoinsieme aperto di $RR^n$. Se $f$ ha in $A$ tutte le derivate fino all'ordine $k$ e queste sono continue, si dice che la $f$ è di classe $C^k$.


Suggerire dunque di derivare la tua funzione... e quindi vedere che succede...

Pol

[Sk_Anonymous]

Avevo pensato di dover fare tutti quei calcoli orrendi. Speravo in una strada più facile.
@ tipper: che errore! devo rivedere il dominio

[Paolo902]

"matths87":Avevo pensato di dover fare tutti quei calcoli orrendi.

già...

[gugo82]

"matths87":Sia data la funzione da $RR^2$ in $RR$ definita da:

$f(x,y)=\frac{x^2(1-\cosy)}{x^2+y^2}+\frac{1}{1-\log(1-x^2)}$

Constatare che $f$ è di classe $C^1$ su $E$.

Come faccio a constatare che $f$ è di classe $C^1$?

Ricordati che un rapporto del tipo $(h(x,y))/(g(x,y))$ (esistente se $g(x,y)!=0$) è derivabile rispetto ad $x$ nei punti in cui esistono $h_x$ e $g_x$ e risulta $D_x(h/g)=(h_x*g-h*g_x)/g^2$ (analogamente rispetto ad $y$): quindi $h/g$ è di classe $C^1$ in tutti i punti interni al suo insieme di definizione in cui $h,g$ sono $C^1$.
Poi $log h(x,y)$ (che esiste unicamente se $h(x,y)>0$) è derivabile rispetto ad $x$ nei punti in cui è derivabile $h$ rispetto alla stessa variabile e risulta $D_x(log h)=(h_x)/h$ (analogamente rispetto ad $y$): quindi $\log h$ è di classe $C^1$ in tutti i punti del suo insieme di definizione in cui $h$ è $C^1$.

Nei punti interni dell'insieme di definizione della tua funzione i numeratori, i denominatori e l'argomento del logaritmo sono derivabili rispetto ad ambo le variabili; le uniche discontinuità delle derivate parziali di $f(x,y)$, per quanto ricordato sopra, potrebbero essere causate dalle discontinuità delle derivate dei numeratori, dei denominatori o dell'argomento del logaritmo, però tali derivate sono continuissime nell'interno di $E$. Quindi la tua funzione è $C^1$ nell'interno di $E$.

[N.B.: ho specificato "nell'interno di $E$" perchè non ho capito se nell'insieme di definizione hai incluso anche i punti (eventuali) su cui $f(x,y)$ è prolungabile con continuità.]

[Sk_Anonymous]

Questo metodo è molto bello (e veloce).