Quesito derivata direzionale
E' possibile che una funzione in 2 variabili non sia derivabile in un punto , ma che ESISTA la derivata direzionale lungo una direzione $lambda$ e sempre in quel punto?
Risposte
Prendi la funzione $f(x,y)=0$ dappertutto tranne che sull'asse $x$ dove la metti 1.
"Luca.Lussardi":
Prendi la funzione $f(x,y)=0$ dappertutto tranne che sull'asse $x$ dove la metti 1.
Ehm.. scusa ma non ho capito proprio nulla.. ti propongo io un esempio:
La funzione $f(x,y) = (sen(x^3)+y^2)/(sqrt(x^2+y^2))$ ammette $f_x(0,0) = 0$ ma non $f_y(0,0)$ in quanto limite destro e sinistro del rapporto incrementale non coincidono.
La derivata direzionale però IN QUEL PUNTO $(0,0)$ e lungo una direzione $lambda = (sqrt(3)/2,1/2)$ è $f_lambda = 0$ (calcolata con il limite) , quindi esiste.
Io mi chiedevo solo se fosse possibile che pur non essendo una funzione derivabile in un punto, la $f_lambda$ lungo una direzione $lambda$ (e in quel punto) potesse esistere.
La funzione che ti ho dato e' derivabile in $(0,0)$ solo nella direzione $\lambda=(1,0)$, in nessun'altra direzione e' derivabile in quel punto.
Le derivate parziali di una funzione non sono altro che derivate direzionali lungo gli assi coordinati...che esistano o meno non ha nessuna ripercussione sull'esistenza della derivata direzionale lungo altre direzioni
"Vulplasir":
Le derivate parziali di una funzione non sono altro che derivate direzionali lungo gli assi coordinati...che esistano o meno non ha nessuna ripercussione sull'esistenza della derivata direzionale lungo altre direzioni
Questa sì che è una risposta esaustiva! Grazie mille
Diverso è il caso in cui la funzione, oltre che derivabile, è pure differenziabile in un punto, allora in quel caso esistono tutte le derivate direzionali
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