Quesito apparentemente banale

[emaz92]

$f(x)$ è una funzione derivabile 2 volte con derivata seconda continua in un intorno di $x=0$.Sapendo che $f(0)=f'(0=0$, calcola
$lim_(x->0)(f(x)/x^2)$

Sinceramente questa tipologia di esercizi è molto facile di solito, però qui è strano, sembra quasi manchino delle informazioni. Il risultato dovrebbe essere 3. Consigli?

[Seneca1]

"emaz92":$f(x)$ è una funzione derivabile 2 volte con derivata seconda continua in un intorno di $x=0$.Sapendo che $f(0)=f'(0=0$, calcola
$lim_(x->0)(f(x)/x^2)$

Sinceramente questa tipologia di esercizi è molto facile di solito, però qui è strano, sembra quasi manchino delle informazioni. Il risultato dovrebbe essere 3. Consigli?

Anche a me sembra che manchino informazioni. Perché $3$ e non $2011$...?

[Seneca1]

Oppure mi sfugge qualcosa; ora ci penso...

[dissonance]

Sia $f(x)=2011x^2$. Allora $f(0)=f'(0)=0$ e $lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2}=2011$.

[Seneca1]

"dissonance":Sia $f(x)=2011x^2$. Allora $f(0)=f'(0)=0$ e $lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2}=2011$.

[emaz92]

"Seneca":[quote="dissonance"]Sia $f(x)=2011x^2$. Allora $f(0)=f'(0)=0$ e $lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x^2}=2011$.

[/quote]
appunto , è strano

[Seneca1]

Tanto per curiosità, dove l'hai pescato?

[emaz92]

"Seneca":Tanto per curiosità, dove l'hai pescato?

è una fotocopia che mi ha dato il prof, l' ha scritta lui, quindi è molto probabile che abbia scritto male

[gugo82]

Tanto per dirne una...

Il valore del limite dipende da [tex]$f^{\prime \prime}(0)$[/tex]: infatti, tenendo presente che [tex]$f(0)=f^\prime (0)=0$[/tex], per Taylor si ha:

[tex]$f(x)=\tfrac{1}{2} f^{\prime \prime} (0)\ x^2+\text{o}(x^2)$[/tex],

ergo:

[tex]$\tfrac{f(x)}{x^2} =\tfrac{1}{2} f^{\prime \prime} (0) +\text{o}(1)$[/tex]

e dunque:

[tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{f(x)}{x^2} =\tfrac{1}{2} f^{\prime \prime} (0)$[/tex].

In particolare il limite assegnato è uguale a [tex]$3$[/tex] se e solo se [tex]$f^{\prime \prime}(0)=6$[/tex].