Quesito analisi
allora sto affrontando il seguente quesito: Data $f(x)=7e^(-7x)$ per $x<=0$ e $f(x)=7cos (2/7pix)$ per $x>0$ ; sia $S$ il sup dell'intervallo in cui f è iniettiva tra $(-oo,x)$ .Allora $f_(+)^(')(0)-f_(-)^(')(0)+4S$?
io procedo disegnandomi il grafico..questo mi conviene in questo caso perche' la funzione non è poi tanto complessa...poi trovo S verificando dal disegno che la funzione è iniettiva (monotona decresc) tra 0 e un punto con Ordinata -7.. pongo che $cos(2/7pix)=-1$ quindi $cos(2/7pix)=pi$ e $x=7/2$(ascissa di S)
mi calcolo rispettivamente le 2 derivate delle 2 funzioni definite a tratti e concludo..
ma la mia domanda è:Tale metodo è applicabile se la funzione di partenza non è troppo complessa,ed è molto dispendioso in termini di tempo!Quindi esiste un altro metodo che escluda la rappresentazione grafica e che mi porti al calcolo del sup e di tutto il resto in minor tempo?
Grazie
io procedo disegnandomi il grafico..questo mi conviene in questo caso perche' la funzione non è poi tanto complessa...poi trovo S verificando dal disegno che la funzione è iniettiva (monotona decresc) tra 0 e un punto con Ordinata -7.. pongo che $cos(2/7pix)=-1$ quindi $cos(2/7pix)=pi$ e $x=7/2$(ascissa di S)
mi calcolo rispettivamente le 2 derivate delle 2 funzioni definite a tratti e concludo..
ma la mia domanda è:Tale metodo è applicabile se la funzione di partenza non è troppo complessa,ed è molto dispendioso in termini di tempo!Quindi esiste un altro metodo che escluda la rappresentazione grafica e che mi porti al calcolo del sup e di tutto il resto in minor tempo?
Grazie
Risposte
Se una funzione è strettamente monotona (il segno della sua derivata è costante) in un intervallo, allora la funzione è iniettiva su quell'intervallo. Prova ad usare questo fatto. Comunque non capisco una cosa: perché $S$ lo cerchi su $(-\infty,x)$... cioè, in pratica, che sta ad indicare quella $x$?
questa è una bella domanda ciampax?non è ho la minima idea!ma S generalmente come lo trovo? non è possibile sempre mettersi li a far il grafico!
Ripeto: provato a fare le derivate dei due "pezzi" e vedere cosa puoi concludere?
ok derivata destra in $0$ è nulla..
derivata sinistra in $0$ vale $-49$..
derivata sinistra in $0$ vale $-49$..
frab.... non la derivata in zero, tutta la derivata! 
oops allora la destra:$(-7sin(2/7pix)2/7pi)$
la sx:$7e^(-7x)*(-7)$
allora la destra:$(-7sin(2/7pix)2/7pi)$la sx:$7e^(-7x)*(-7)$
Ecco: ora cosa puoi dire riguardo al segno di queste due derivate? (tra l'altro, puoi fare anche un po' di semplificazioni con le costanti)
$-2pisin(2/7pix)$ e $-49e^(-7x)$
la funzione sin è dispari,la derivata destra allora è dispari visto che la x compare al grado 1..
l'altra è definita sempre, ma che posso dire?
la funzione sin è dispari,la derivata destra allora è dispari visto che la x compare al grado 1..
l'altra è definita sempre, ma che posso dire?
Frab, il segno. Quando quelle cose sono maggiori o minori di zero? (Ma parlo arabo?)
ok!:) la seconda è sempre maggiore o uguale a 0?ascolta non so..
"ciampax":
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Allora, la funzione derivata è questa
[tex]$f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-49 e^{-7x} & & x<0\\ & & \\ -2\pi\sin(2\pi x/7) & & x\ge 0
\end{array}\right.$[/tex]
La derivata definita per $x<0$ risulta sempre negativa e quindi su $(-\infty,0)$ la funzione è monotona strettamente decrescente. Per l'altra, se risolvi la disequazione $-2\pi\sin(2\pi x/7)\ge 0$ sei ricondotto a $\sin(2\pi x/7)\le 0$ le cui soluzioni risultano
[tex]$\pi+2k\pi\le\frac{2\pi}{7} x\le 2\pi+2k\pi$[/tex]
e quindi
[tex]$\frac{7}{2}+7k\le x\le 7+7k$[/tex] con $k\ge 0$.
Ne segue che su $[0,+\infty)$ la funzione risulta strettamente decrescente su $[0,7/2)$, crescente su $[7/2,7]$ e poi di nuovo, alternativamente, crescente e decrescente. Per cui la funzione risulta strettamente monotona (e quindi iniettiva) sull'intervallo [tex]$(-\infty,7/2)$[/tex] per cui $S=7/2$ (perché, se leggo bene il testo dell'esercizio, $S$ è il sup dell'intervallo in cui la funzione è iniettiva, e non il valore della funzione). Essendo poi $f'_+(0)=0$ e $f'_-(0)=-49$ il valore cercato dell'espressione che hai scritto è $63$.
[tex]$f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
-49 e^{-7x} & & x<0\\ & & \\ -2\pi\sin(2\pi x/7) & & x\ge 0
\end{array}\right.$[/tex]
La derivata definita per $x<0$ risulta sempre negativa e quindi su $(-\infty,0)$ la funzione è monotona strettamente decrescente. Per l'altra, se risolvi la disequazione $-2\pi\sin(2\pi x/7)\ge 0$ sei ricondotto a $\sin(2\pi x/7)\le 0$ le cui soluzioni risultano
[tex]$\pi+2k\pi\le\frac{2\pi}{7} x\le 2\pi+2k\pi$[/tex]
e quindi
[tex]$\frac{7}{2}+7k\le x\le 7+7k$[/tex] con $k\ge 0$.
Ne segue che su $[0,+\infty)$ la funzione risulta strettamente decrescente su $[0,7/2)$, crescente su $[7/2,7]$ e poi di nuovo, alternativamente, crescente e decrescente. Per cui la funzione risulta strettamente monotona (e quindi iniettiva) sull'intervallo [tex]$(-\infty,7/2)$[/tex] per cui $S=7/2$ (perché, se leggo bene il testo dell'esercizio, $S$ è il sup dell'intervallo in cui la funzione è iniettiva, e non il valore della funzione). Essendo poi $f'_+(0)=0$ e $f'_-(0)=-49$ il valore cercato dell'espressione che hai scritto è $63$.
sai troppo ciampax!:) ti ringrazio davvero!!!
"Seneca":
[quote="ciampax"]أدب - البورصة - الطفل - المرأة - المقاطعة - أخبار- إسلام - استضافة - بوابات - برمجة - بريد - تحميل - ترفيه - تصميم - تعليم - تلفاز - حوار
[/quote]Sei un cretino!
(ovviamente non sto offendendo!)@frab: prego... sì, qualcosina la so!
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