Quesiti sulle EDO
Quante soluzioni reali ammette y'''''' + 4''' - y = 0
-6 soluzioni
-5 soluzioni
-4 soluzioni
-3 soluzioni
Scrivendo l'equazione caratteristica ottengo $t^6 + 4t^3 - 1 = 0$ , pongo $t^3 = k $ e ottengo $ k^2 + 4k - 1 = 0$ no ?
In ogni caso, dato che n=6 , non so dalla teoria della EDO, che lo spazio delle soluzioni sarà uno spazio vettoriale di dimensione n? Quindi formato da 6 soluzioni?
Eppure un mio compagno dice che la risposta giusta è 5 soluzioni.
Sapendo che l'equazione differenziale $x'' + 4x' + 5x = f(t)$, con f(t) appartente a C0 (R), ha come soluzione $arctan(t)$ determinare quale delle seguenti funzioni è soluzione della stessa edo.
- $e^(2t) cos(t) + arctan(t)$
- $ e^(-2t)cos(t) + arctan (t) $
- $e^(-2t)sen(t)$
- $ e^(t) + arctan(t)$
Avevo pensato la seconda, ma la soluzione della omogenea non viene $ e^(-2t)(Acos(t) + Bsen(t))$ ?
Sia V l'insieme delle soluzioni di y' = f(x)y , con f(x) continua in R, scegliere l'affermazione giusta.
-se y appartiene a V, e y(0) = 0, allora y(x) = 0 per ogni x di R (questa non saprei che dire onestamente ... )
-per ogni y1, y2 appartenenti a V, essi sono due funzioni linearmente indipendenti (ma dato che ho n=1 avrò solo una soluzione, quindi y1 giusto?)
-V non puo essere uno spazio vettoriale (falso perchè la soluzione di una omogenea è sempre uno spazio vettoriale)
-nessuna delle precedenti
Ho 4 EDO lineari (purtroppo non ho il testo). Devo determinare qual è l'unica ad avere soluzione costante.
Come diamine si fa??
-6 soluzioni
-5 soluzioni
-4 soluzioni
-3 soluzioni
Scrivendo l'equazione caratteristica ottengo $t^6 + 4t^3 - 1 = 0$ , pongo $t^3 = k $ e ottengo $ k^2 + 4k - 1 = 0$ no ?
In ogni caso, dato che n=6 , non so dalla teoria della EDO, che lo spazio delle soluzioni sarà uno spazio vettoriale di dimensione n? Quindi formato da 6 soluzioni?
Eppure un mio compagno dice che la risposta giusta è 5 soluzioni.
Sapendo che l'equazione differenziale $x'' + 4x' + 5x = f(t)$, con f(t) appartente a C0 (R), ha come soluzione $arctan(t)$ determinare quale delle seguenti funzioni è soluzione della stessa edo.
- $e^(2t) cos(t) + arctan(t)$
- $ e^(-2t)cos(t) + arctan (t) $
- $e^(-2t)sen(t)$
- $ e^(t) + arctan(t)$
Avevo pensato la seconda, ma la soluzione della omogenea non viene $ e^(-2t)(Acos(t) + Bsen(t))$ ?
Sia V l'insieme delle soluzioni di y' = f(x)y , con f(x) continua in R, scegliere l'affermazione giusta.
-se y appartiene a V, e y(0) = 0, allora y(x) = 0 per ogni x di R (questa non saprei che dire onestamente ... )
-per ogni y1, y2 appartenenti a V, essi sono due funzioni linearmente indipendenti (ma dato che ho n=1 avrò solo una soluzione, quindi y1 giusto?)
-V non puo essere uno spazio vettoriale (falso perchè la soluzione di una omogenea è sempre uno spazio vettoriale)
-nessuna delle precedenti
Ho 4 EDO lineari (purtroppo non ho il testo). Devo determinare qual è l'unica ad avere soluzione costante.
Come diamine si fa??
Risposte
"Yumina92":
Quante soluzioni reali ammette \[ y^{(6)} + 4 y^{(3)} - y = 0\]
Di reali - le uniche che abbia studiato, al momento - di certo \(6\). Infatti
\[P(\lambda) = (\lambda^3 - t_1) (\lambda^3 - t_2),\qquad t_1,t_2 \in \mathbb{R}\]
Eppure un mio compagno dice che la risposta giusta è 5 soluzioni.
Il dubbio che lui abbia ragione viene anche a me -almeno per come viene posta la domanda (che sembra sia a trabocchetto).
Sapendo che l'equazione differenziale \[ x'' + 4x' + 5x = f(t) \] [...] Avevo pensato la seconda, ma la soluzione della omogenea non viene \[ e^{-2t} \left[ A \cos{t} + B \sin{t} \right] \]?
Si, e quindi? Vorra' dire che \(A \equiv 1\), \(B \equiv 0\).
Sia V l'insieme delle soluzioni di y' = f(x)y , con f(x) continua in R, scegliere l'affermazione giusta.
-se y appartiene a V, e y(0) = 0, allora y(x) = 0 per ogni x di R (questa non saprei che dire onestamente ... )
Per \[F(x,y) := f(x) \cdot y\] valgono le ipotesi del teorema di esistenza e unicita' globale. Dato che \(y(x) \equiv 0\) e' soluzione del PC, allora dev'essere l'unica.
Sulle altre sono d'accordo con te.
Ho 4 EDO lineari (purtroppo non ho il testo). Devo determinare qual è l'unica ad avere soluzione costante.
Come diamine si fa??
Boh ...cosi non mi viene in mente nulla di generale.
"Yumina92":
Quante soluzioni reali ammette y'''''' + 4''' - y = 0
-6 soluzioni
-5 soluzioni
-4 soluzioni
-3 soluzioni
Scrivendo l'equazione caratteristica ottengo $t^6 + 4t^3 - 1 = 0$ , pongo $t^3 = k $ e ottengo $ k^2 + 4k - 1 = 0$ no ?
In ogni caso, dato che n=6 , non so dalla teoria della EDO, che lo spazio delle soluzioni sarà uno spazio vettoriale di dimensione n? Quindi formato da 6 soluzioni?
Eppure un mio compagno dice che la risposta giusta è 5 soluzioni.
La risposta corretta sarebbe "infinite", come vediamo, ma vedendo le risposte è chiaro che quello che vogliono sapere è la dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni.
In questo caso, è 6, come dici tu (pari all'ordine dell'eq. diff.)
Sapendo che l'equazione differenziale $x'' + 4x' + 5x = f(t)$, con f(t) appartente a C0 (R), ha come soluzione $arctan(t)$ determinare quale delle seguenti funzioni è soluzione della stessa edo.
- $e^(2t) cos(t) + arctan(t)$
- $ e^(-2t)cos(t) + arctan (t) $
- $e^(-2t)sen(t)$
- $ e^(t) + arctan(t)$
Avevo pensato la seconda, ma la soluzione della omogenea non viene $ e^(-2t)(Acos(t) + Bsen(t))$ ?
Ok, questo è l'insieme di TUTTE le soluzioni.
Nessuno ti vieta di imporre libearmente $A=1,\ B=0$. E quindi hai la 2° risposta.
Sia V l'insieme delle soluzioni di y' = f(x)y , con f(x) continua in R, scegliere l'affermazione giusta.
-se y appartiene a V, e y(0) = 0, allora y(x) = 0 per ogni x di R (questa non saprei che dire onestamente ... )
-per ogni y1, y2 appartenenti a V, essi sono due funzioni linearmente indipendenti (ma dato che ho n=1 avrò solo una soluzione, quindi y1 giusto?)
-V non puo essere uno spazio vettoriale (falso perchè la soluzione di una omogenea è sempre uno spazio vettoriale)
-nessuna delle precedenti
Quella corretta è la prima.
Se $y(x)=0$ anche $y'(x)=0$, quindi la funzione è costante. E siccome hai un punto in cui passa per zero, tutta la funzione è zero.
Ho 4 EDO lineari (purtroppo non ho il testo). Devo determinare qual è l'unica ad avere soluzione costante.
Come diamine si fa??
Come prima. Trovane una che, per un certo valore di $y$, ti da $y'=0$.
Come mio solito mi perdo in un bicchier d'acqua ... Nella seconda non pensavo potessi impostare Cauchy, ci avevo pensato ma dato che il testo non lo diceva non ero sicura ...
Una domanda sull'ultima. Mi torna fare questo ragionamento se ho una edo di primo ordine ... non so se riesco ad applicarlo.
Se ad esempio ho y' -4y= 0 , so che la soluzione generale è $y(x) = Ce^(-4x)$
La soluzione costante qui quale sarebbe ? y(x) = 0 ?
E se ho una edo di secondo ordine ?
Una domanda sull'ultima. Mi torna fare questo ragionamento se ho una edo di primo ordine ... non so se riesco ad applicarlo.
Se ad esempio ho y' -4y= 0 , so che la soluzione generale è $y(x) = Ce^(-4x)$
La soluzione costante qui quale sarebbe ? y(x) = 0 ?
E se ho una edo di secondo ordine ?
"Yumina92":Si.
Come mio solito mi perdo in un bicchier d'acqua ... Nella seconda non pensavo potessi impostare Cauchy, ci avevo pensato ma dato che il testo non lo diceva non ero sicura ...
Una domanda sull'ultima. Mi torna fare questo ragionamento se ho una edo di primo ordine ... non so se riesco ad applicarlo.
Se ad esempio ho y' -4y= 0 , so che la soluzione generale è $y(x) = Ce^(-4x)$
La soluzione costante qui quale sarebbe ? y(x) = 0 ?
E se ho una edo di secondo ordine ?
Beh, se la funzione $y$ è costante, deve essere che tutte le derivate che compaiono sono costantemente a zero.
Quindi vanno imposte tutte a zero, tranne eventualmente quelle che si ricavano risolvendo le equzioni date.
Quindi ad es:
$y''+y'+y^2=16$
avrà come soluzioni costanti la condizione $y=\pm4, y'=0$
Ok tutto chiaro, merci 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo