Quesiti
Qual è il minimo di $sin(tan(x))$ nell'intervallo $]-pi/2,0]$?
E' chiaro che facendo la derivata prima devo trovare dove $cos(tan(x))$ dev'essere uguale a 0. Quindi $tan(x)$ dev'essere $+- pi/2$. Quindi x quanto vale?
E' giusto come ragionamento?
Poi, secondo quesito:
$int e^(-z^2)$ con estremi $-oo, 1$
Da 0 a 1 è chiaro che esiste, ma da $-oo$ a 0 come posso dire che esiste finito? E come lo calcolo?
E' chiaro che facendo la derivata prima devo trovare dove $cos(tan(x))$ dev'essere uguale a 0. Quindi $tan(x)$ dev'essere $+- pi/2$. Quindi x quanto vale?
E' giusto come ragionamento?
Poi, secondo quesito:
$int e^(-z^2)$ con estremi $-oo, 1$
Da 0 a 1 è chiaro che esiste, ma da $-oo$ a 0 come posso dire che esiste finito? E come lo calcolo?
Risposte
Sì, è giusto come ragionamento, perché la derivata prima si annulla solo quando $cos(tanx)=0$, quindi $x=tan^(-1)(+-pi/2)$.
Per il primo direi che il ragionamento va bene, $x$ vale $x=\pm"arctg"(\frac{\pi}{2})+2k\pi$.
Per il secondo, se ho capito bene, devi valutare la convergenza di $\int_{-\infty}^{1}e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^0e^{-x^2}dx+\int_{0}^1e^{-x^2}dx$.
Il secondo integrale converge per forza, perché in quell'intervallo chiuso e limitato la funzione è continua e limitata, si deve quindi studiare la convergenza di $\int_{-\infty}^0e^{-x^2}dx$, ma la possiamo studiare anche di $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$, tanto l'integranda è pari.
Ora, $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_{0}^1e^{-x^2}dx+\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx$.
Per quanto detto prima ci si può limitare allo studio di convergenza del secondo integrale.
Per x>1 vale (ovviamente) $e^{-x}>e^{-x^2}$, quindi, calcolando (in forma chiusa) $\int_{1}^{+\infty}e^{-x}dx$ ci si accorge che converge, di conseguenza converge anche l'integrale di partenza.
Per il secondo, se ho capito bene, devi valutare la convergenza di $\int_{-\infty}^{1}e^{-x^2}dx=\int_{-\infty}^0e^{-x^2}dx+\int_{0}^1e^{-x^2}dx$.
Il secondo integrale converge per forza, perché in quell'intervallo chiuso e limitato la funzione è continua e limitata, si deve quindi studiare la convergenza di $\int_{-\infty}^0e^{-x^2}dx$, ma la possiamo studiare anche di $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$, tanto l'integranda è pari.
Ora, $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_{0}^1e^{-x^2}dx+\int_{1}^{+\infty}e^{-x^2}dx$.
Per quanto detto prima ci si può limitare allo studio di convergenza del secondo integrale.
Per x>1 vale (ovviamente) $e^{-x}>e^{-x^2}$, quindi, calcolando (in forma chiusa) $\int_{1}^{+\infty}e^{-x}dx$ ci si accorge che converge, di conseguenza converge anche l'integrale di partenza.
"Crook":
Sì, è giusto come ragionamento, perché la derivata prima si annulla solo quando $cos(tanx)=0$, quindi $x=tan^(-1)(+-pi/2)$.
Ok, ma viene un reale che non è assolutamente nè 1 nè -1...
Comunque quell'integrale fra $-\infty$ e $0$ vale $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.
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