Quanti $x$? "Trigonometria"
Determinare quanti sono gli $x$ reali con $0\le x\le \pi$ e tali che
$log_{4}|sin4x|+|log_{2}\sqrt|cosx||=0$.
Stavo provando a risolvere questo esercizio. Spero possiate aiutarmi. Vi mostro quel che ho fatto io (sempre che sia giusto)
Intanto $log_{4}|sin4x|=\frac{1}{2} log_{2}|sin4x|$ e $|log_{2}\sqrt|cosx||=\frac{1}{2}|log_{2}|cosx||$.
Dunque posso riscrivere l'espressione di partenza come: $log_{2}|sin4x|+|log_{2}|cosx||=0$.
E quindi, togliendo il valore assoluto, (dico bene? passo i) ) $log_{2}|sin4x|=\pm log_{2}|cosx|$.
Ma, dato che il logaritmo è una funzione iniettiva e ho la stessa base, (dico bene? passo ii) ), si deve avere
$|sin4x|=\pm|cosx|$.
E, togliendo di nuovo il valore assoluto, (dico bene? passo iii) ) $sin4x=\pm cosx$.
Se $4x$ ed $x$ sono nello stesso quadrante, dunque o nel primo o nel secondo, (ma per facile verifica si vede che nel secondo non accade). Si deve avere che o $sin4x=cosx$, o $sin4x=-cosx$. Il secondo è da scartare, dato che $sin4x\ge 0$ nel primo quadrante. Nel primo quadrante si ha $sin\alpha=cos{90^\circ-\alpha}$. Dunque dev'essere $90-4x=x$, da cui $x=18$.
Osservo ora che se $0\le x\le \frac{\pi}{2}$, ovvero $x$ è nel primo quadrante, allora $4x$ varia nell'intervallo primo,secondo,terzo e quarto quadrante. (suppongo che la risposta sia per $8$ valori di $x$, ma come lo provo?). Ora non so che strada prendere... Hints?
$log_{4}|sin4x|+|log_{2}\sqrt|cosx||=0$.
Stavo provando a risolvere questo esercizio. Spero possiate aiutarmi. Vi mostro quel che ho fatto io (sempre che sia giusto)
Intanto $log_{4}|sin4x|=\frac{1}{2} log_{2}|sin4x|$ e $|log_{2}\sqrt|cosx||=\frac{1}{2}|log_{2}|cosx||$.
Dunque posso riscrivere l'espressione di partenza come: $log_{2}|sin4x|+|log_{2}|cosx||=0$.
E quindi, togliendo il valore assoluto, (dico bene? passo i) ) $log_{2}|sin4x|=\pm log_{2}|cosx|$.
Ma, dato che il logaritmo è una funzione iniettiva e ho la stessa base, (dico bene? passo ii) ), si deve avere
$|sin4x|=\pm|cosx|$.
E, togliendo di nuovo il valore assoluto, (dico bene? passo iii) ) $sin4x=\pm cosx$.
Se $4x$ ed $x$ sono nello stesso quadrante, dunque o nel primo o nel secondo, (ma per facile verifica si vede che nel secondo non accade). Si deve avere che o $sin4x=cosx$, o $sin4x=-cosx$. Il secondo è da scartare, dato che $sin4x\ge 0$ nel primo quadrante. Nel primo quadrante si ha $sin\alpha=cos{90^\circ-\alpha}$. Dunque dev'essere $90-4x=x$, da cui $x=18$.
Osservo ora che se $0\le x\le \frac{\pi}{2}$, ovvero $x$ è nel primo quadrante, allora $4x$ varia nell'intervallo primo,secondo,terzo e quarto quadrante. (suppongo che la risposta sia per $8$ valori di $x$, ma come lo provo?). Ora non so che strada prendere... Hints?
Risposte
"nicolah":
E quindi, togliendo il valore assoluto, (dico bene? passo i) ) $log_{2}|sin4x|=\pm log_{2}|cosx|$.
Ma, dato che il logaritmo è una funzione iniettiva e ho la stessa base, (dico bene? passo ii) ), si deve avere
$|sin4x|=\pm|cosx|$.
Da \(\log_2 a = - \log_2 b\) non si deduce che \( a = -b\), ma che \(a = 1/b\).
$ \log_{4}(\abs{\sin(4x)}) + \abs{ \log_{2}(\sqrt{\abs{\cos(x)}}) }=0$
$ \frac{1}{2}\log_{2}(\abs{\sin(4x)}) = -\abs{\frac{1}{2}\log_{2}(\abs{\cos(x)})} $
$ \log_{2}(\abs{\sin(4x)}) = \log_{2}(\abs{\cos(x)}) \vee \log_{2}(\abs{\sin(4x)}) = \log_{2}((\abs{\cos(x)})^{-1}) $
$ \sin(4x) = \pm \cos(x) \vee \sin(4x) = \pm \frac{1}{\cos(x) $
$ 4x = \frac{pi}{2}-x +2k\pi \vee 4x= \pi - (\frac{pi}{2}-x) +2k\pi \vee S= \emptyset $ *
$ x= \frac{\pi}{10} + \frac{2}{5}k\pi \vee x= \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi $
Se $ 0 \le x \le \pi $ allora avremo $ x=\frac{\pi}{10} , x = \frac{\pi}{2}, x=\frac{9}{10}\pi, x= \frac{\pi}{6}, x=\frac{5}{6}\pi $.
*: seno e secante sono uguali sse hanno modulo 1 avendo i loro codomini intersezione nei soli punti 1 e -1; nel nostro caso il coseno ha modulo uno in $k\pi$ ma per quei valori $\sin(4x)=0$ dunque la seconda equazione è impossibile.
Ciao.
$ \frac{1}{2}\log_{2}(\abs{\sin(4x)}) = -\abs{\frac{1}{2}\log_{2}(\abs{\cos(x)})} $
$ \log_{2}(\abs{\sin(4x)}) = \log_{2}(\abs{\cos(x)}) \vee \log_{2}(\abs{\sin(4x)}) = \log_{2}((\abs{\cos(x)})^{-1}) $
$ \sin(4x) = \pm \cos(x) \vee \sin(4x) = \pm \frac{1}{\cos(x) $
$ 4x = \frac{pi}{2}-x +2k\pi \vee 4x= \pi - (\frac{pi}{2}-x) +2k\pi \vee S= \emptyset $ *
$ x= \frac{\pi}{10} + \frac{2}{5}k\pi \vee x= \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi $
Se $ 0 \le x \le \pi $ allora avremo $ x=\frac{\pi}{10} , x = \frac{\pi}{2}, x=\frac{9}{10}\pi, x= \frac{\pi}{6}, x=\frac{5}{6}\pi $.
*: seno e secante sono uguali sse hanno modulo 1 avendo i loro codomini intersezione nei soli punti 1 e -1; nel nostro caso il coseno ha modulo uno in $k\pi$ ma per quei valori $\sin(4x)=0$ dunque la seconda equazione è impossibile.
Ciao.
"Bremen000":
$ \sin(4x) = \pm \cos(x)$. Allora
$ 4x = \frac{pi}{2}-x +2k\pi \vee 4x= \pi - (\frac{pi}{2}-x) +2k\pi \vee S= \emptyset $ *
Potresti giustificare questi passaggi? Non mi sono tanto chiari. Cioè hai usato la relazione $sin(\alpha)=cos(90-\alpha)$ nel primo.
Nel secondo $sin(\alpha)=cos(90+\alpha)$. Però non mi convince: usi quelle $2$ relazioni per trovare gli $x$, ma non è detto che li trovi tutti... Ad esempio, già nell'usare solo la prima relazione ne hai trovate solo alcune di soluzioni. Aggiungendo la seconda ne hai trovate un altro po'. Ma non è allora detto che così tu le abbia trovate tutte.
E $S=0$? cosa intendi?
Non hai tutti i torti, non ho sciolto bene un valore assoluto.
Abbiamo:
$\sin(4x) = \pm \cos(x)$
da cui
$\sin(4x) = cos(x) \vee \sin(4x) = -cos(x) $
dopodiché uso $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) $ quindi:
$\sin(4x) = \sin(\frac{\pi}{2}-x) \vee \sin(4x) =-\sin(\frac{\pi}{2}-x) $
Ora un equazione del tipo $\sin(\alpha) = \sin(\beta) $ è verificata per $\alpha = \beta + 2k\pi \vee \alpha = \pi-\beta +2k\pi$.
Inoltre $\-sin(\theta) = \sin(-\theta)$.
Quindi
$ 4x = \frac{\pi}{2}-x + 2k\pi \vee 4x = \pi -(\frac{\pi}{2}-x) + 2k\pi \vee 4x= x-\frac{pi}{2}+2k\pi \vee 4x= \pi -(x-\frac{pi}{2})+2k\pi$
$ x= \frac{\pi}{10} + \frac{2}{5}k\pi \vee x = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi \vee x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi \vee x = \frac{3}{10}\pi + \frac{2}{5}k\pi $
Con la restrizione $0 \le x \le \pi$ abbiamo:
$ x = (\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{9}{10}\pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \frac{3}{10}\pi, \frac{7}{10}\pi ) $
Questo per quanto riguarda la prima parte.
Poi il $S=\emptyset$ si riferisce all'equazione $ \sin(4x) = \pm \frac{1}{\cos(x)} $ che ti ho spiegato nell'asterisco perché non ha soluzioni.
Oltretutto bisogna anche considerare le condizioni di esistenza del logaritmo ovvero escludere i valori minori o uguali a 0. Siccome l'argomento dei logaritmi è sempre un valore assoluto nel tuo testo è sufficiente escludere i valori uguali a 0. Ovvero dove $\sin(4x) $ e $\cos(x)$ si annullano, ovvero $x \ne k\frac{\pi}{4} $ e $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi $. Dalle nostre soluzioni dobbiamo quindi escludere il solo $\frac{\pi}{2}$.
La risposta al tuo "quanti $x$" è quindi 6.
P.S. : sono stato molto sbadato nel risolvere l'esercizio, dimenticandomi un'equazione oltre a delle C.E. , sarà l'età, perdonami!
Abbiamo:
$\sin(4x) = \pm \cos(x)$
da cui
$\sin(4x) = cos(x) \vee \sin(4x) = -cos(x) $
dopodiché uso $\cos(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha) $ quindi:
$\sin(4x) = \sin(\frac{\pi}{2}-x) \vee \sin(4x) =-\sin(\frac{\pi}{2}-x) $
Ora un equazione del tipo $\sin(\alpha) = \sin(\beta) $ è verificata per $\alpha = \beta + 2k\pi \vee \alpha = \pi-\beta +2k\pi$.
Inoltre $\-sin(\theta) = \sin(-\theta)$.
Quindi
$ 4x = \frac{\pi}{2}-x + 2k\pi \vee 4x = \pi -(\frac{\pi}{2}-x) + 2k\pi \vee 4x= x-\frac{pi}{2}+2k\pi \vee 4x= \pi -(x-\frac{pi}{2})+2k\pi$
$ x= \frac{\pi}{10} + \frac{2}{5}k\pi \vee x = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi \vee x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}k\pi \vee x = \frac{3}{10}\pi + \frac{2}{5}k\pi $
Con la restrizione $0 \le x \le \pi$ abbiamo:
$ x = (\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{9}{10}\pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5}{6}\pi, \frac{3}{10}\pi, \frac{7}{10}\pi ) $
Questo per quanto riguarda la prima parte.
Poi il $S=\emptyset$ si riferisce all'equazione $ \sin(4x) = \pm \frac{1}{\cos(x)} $ che ti ho spiegato nell'asterisco perché non ha soluzioni.
Oltretutto bisogna anche considerare le condizioni di esistenza del logaritmo ovvero escludere i valori minori o uguali a 0. Siccome l'argomento dei logaritmi è sempre un valore assoluto nel tuo testo è sufficiente escludere i valori uguali a 0. Ovvero dove $\sin(4x) $ e $\cos(x)$ si annullano, ovvero $x \ne k\frac{\pi}{4} $ e $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi $. Dalle nostre soluzioni dobbiamo quindi escludere il solo $\frac{\pi}{2}$.
La risposta al tuo "quanti $x$" è quindi 6.
P.S. : sono stato molto sbadato nel risolvere l'esercizio, dimenticandomi un'equazione oltre a delle C.E. , sarà l'età, perdonami!
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