Quanti sono gli insiemi di numeri conosciuti...
Quanti insiemi sono conosciuti tali che essi siano un insieme di numeri C(come i complessi) in cui il rapporto tra due di essi genera un insieme dei numeri R(reali), di cui questo è sottoinsieme di C?(Il campo complesso ne è un esempio....).
Infatti il rapporto tra due n° complessi potrebbe essere ancora un n° complesso e non appartenere all'insieme reale oppure potrebbe anche accadere che il rapporto sia reale?
Ora però mi domando come si chiama l'insieme X di numeri appartenenti a C e NON appartenenti ad R.
Hanno un nome i numeri appartenenti ad R e non appartenenti a Q? (per intenderci, come esempio(irrazionali))
Infatti il rapporto tra due n° complessi potrebbe essere ancora un n° complesso e non appartenere all'insieme reale oppure potrebbe anche accadere che il rapporto sia reale?
Ora però mi domando come si chiama l'insieme X di numeri appartenenti a C e NON appartenenti ad R.
Hanno un nome i numeri appartenenti ad R e non appartenenti a Q? (per intenderci, come esempio(irrazionali))
Risposte
Il problema è la nozione di "frazione"; le scuole medie fanno molti danni.
Ho riformulato la domanda, comunque grazie.
E se fosse semplicemente irrazionale $\pi$, non potrebbe scriversi come rapporto tra due interi ma nulla si direbbe nei confronti dei reali. Invece $\pi$ non è irrazionale e basta ma è anche trascendente, il che implica un concetto più esteso di quello che hai esplicato.
Il termine Irrazionale credevo si riferisse alla incapacità di un insieme di contenere il rapporto di due numeri interi, invece dalla vignetta si evince che esso non può nemmeno contenere il rapporto tra due reali? E' questo che provo' Lambert?
Dimostrazione?
Il termine Irrazionale credevo si riferisse alla incapacità di un insieme di contenere il rapporto di due numeri interi, invece dalla vignetta si evince che esso non può nemmeno contenere il rapporto tra due reali? E' questo che provo' Lambert?
Dimostrazione?
Penso tu sia molto confus*. E' tardi, pensaci domani.
Ciao curie88,
Attenzione che sono due cose diverse: il fatto che $\pi $ sia un numero irrazionale, quindi che non possa essere scritto come quoziente di due interi, è stato dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Il fatto che sia un numero trascendente (ovvero non sia un numero algebrico) è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Ciò significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui il $\pi $ è radice, quindi è impossibile esprimere $\pi $ usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.
Ho trovato in rete questo che potrebbe interessarti. Ci sono anche alcuni riferimenti bibliografici.
Attenzione che sono due cose diverse: il fatto che $\pi $ sia un numero irrazionale, quindi che non possa essere scritto come quoziente di due interi, è stato dimostrato nel 1761 da Johann Heinrich Lambert. Il fatto che sia un numero trascendente (ovvero non sia un numero algebrico) è stato provato da Ferdinand von Lindemann nel 1882. Ciò significa che non ci sono polinomi con coefficienti razionali di cui il $\pi $ è radice, quindi è impossibile esprimere $\pi $ usando un numero finito di interi, di frazioni e di loro radici.
Ho trovato in rete questo che potrebbe interessarti. Ci sono anche alcuni riferimenti bibliografici.
Il problema è che il concetto di "scriverlo come una frazione" è mal definito. (E la domanda in OP non si capisce cosa chieda...)
"curie88":
Ora però mi domando come si chiama l'insieme X di numeri appartenenti a C e NON appartenenti ad R.
Direi complessi non reali. Insomma, se prendi a caso (con probabilità uniforme) un numero complesso la probabilità che questo sia un numero reale è quasi nulla.
Comunque, molto probabilmente, qualsiasi definizione tu decida di usare per dare un senso alla tua domanda, la risposta rimarrà un numero infinito della cardinalità del continuo o superiore.
Non confondiamo le acque, non esiste una probabilità uniforme su un insieme infinito. Quello che forse intendevi dire è che la misura 2-dimensionale di $RR$ in $CC$ è zero. Certo, ma è un altro discorso.
Il problema è che ad OP manca la terminologia per apprezzare che la procedura che costruisce $QQ$ a partire da $ZZ$ non è "prendo le frazioni", ma una costruzione più complessa e generale.
Da questo fraintendimento, OP sembra derivare l'idea che le estensioni di un campo di numeri $\mathcal O$ si ottengano prendendo frazioni a valori in $\mathcal O$; questo è falso. La maniera con cui si ottiene una estensione di $\mathcal O$ è l'inizio della teoria di Galois: se $\mathcal O$ è sottocampo di $\mathcal F$, ed $\alpha\in \mathcal F\setminus\mathcal O$, allora si può definire un omomorfismo di anelli $\Phi_\alpha : \mathcal O[X]\to \mathcal F$ che manda $p(X)$ in $p(\alpha)\in\mathcal F$; due sono i casi, a questo punto
1. O esiste un $p\ne 0$ tale che $\Phi_\alpha(p)=0$, e allora \(\ker \Phi_\alpha\) è non banale (perché contiene $(p)$); in tal caso l'elemento $\alpha$ è $\mathcal O$-algebrico. Il generatore monico di \(\ker \Phi_\alpha\) si chiama polinomio minimo di $\alpha$. Per esempio, $\sqrt{2}$ è $QQ$-algebrico, perché \(\ker\Phi_{\sqrt{2}} = (X^2-2)\)
2. Oppure $\Phi_\alpha$ è iniettivo, e allora non ci può essere un polinomio a coefficienti in $\mathcal F$ tale che $p(\alpha)=0$. Questa è esattamente la definizione di elemento $\mathcal F$-trascendente. Per esempio, $\pi$ è $QQ$-trascendente. Come conseguenza dell'essere trascendente, si ha un isomorfismo $\mathcal F(X)\cong \mathcal F(\alpha)$ (non c'è cioè differenza tra il campo cui è stato formalmente aggiunto $\alpha$ e il campo dei quozienti $\mathcal F(X)$ dell'anello dei polinomi).
Ora, come si dimostra che un elemento è $\mathcal O$-trascendente? In generale è difficile: cfr. la dimostrazione di Lindemann e quanto essa sia posteriore a Lambert. Però, oggi, disponiamo di tecniche un fiatino più potenti: per esempio, possiamo dimostrare che $\alpha$ è $\mathcal F$-trascendente perché sappiamo scrivere un'equazione differenziale di cui $\alpha$ è soluzione, che è fatta in un certo modo, e che quindi deve generare un'estensione infinita di $\mathcal F$.
Il problema è che ad OP manca la terminologia per apprezzare che la procedura che costruisce $QQ$ a partire da $ZZ$ non è "prendo le frazioni", ma una costruzione più complessa e generale.
Da questo fraintendimento, OP sembra derivare l'idea che le estensioni di un campo di numeri $\mathcal O$ si ottengano prendendo frazioni a valori in $\mathcal O$; questo è falso. La maniera con cui si ottiene una estensione di $\mathcal O$ è l'inizio della teoria di Galois: se $\mathcal O$ è sottocampo di $\mathcal F$, ed $\alpha\in \mathcal F\setminus\mathcal O$, allora si può definire un omomorfismo di anelli $\Phi_\alpha : \mathcal O[X]\to \mathcal F$ che manda $p(X)$ in $p(\alpha)\in\mathcal F$; due sono i casi, a questo punto
1. O esiste un $p\ne 0$ tale che $\Phi_\alpha(p)=0$, e allora \(\ker \Phi_\alpha\) è non banale (perché contiene $(p)$); in tal caso l'elemento $\alpha$ è $\mathcal O$-algebrico. Il generatore monico di \(\ker \Phi_\alpha\) si chiama polinomio minimo di $\alpha$. Per esempio, $\sqrt{2}$ è $QQ$-algebrico, perché \(\ker\Phi_{\sqrt{2}} = (X^2-2)\)
2. Oppure $\Phi_\alpha$ è iniettivo, e allora non ci può essere un polinomio a coefficienti in $\mathcal F$ tale che $p(\alpha)=0$. Questa è esattamente la definizione di elemento $\mathcal F$-trascendente. Per esempio, $\pi$ è $QQ$-trascendente. Come conseguenza dell'essere trascendente, si ha un isomorfismo $\mathcal F(X)\cong \mathcal F(\alpha)$ (non c'è cioè differenza tra il campo cui è stato formalmente aggiunto $\alpha$ e il campo dei quozienti $\mathcal F(X)$ dell'anello dei polinomi).
Ora, come si dimostra che un elemento è $\mathcal O$-trascendente? In generale è difficile: cfr. la dimostrazione di Lindemann e quanto essa sia posteriore a Lambert. Però, oggi, disponiamo di tecniche un fiatino più potenti: per esempio, possiamo dimostrare che $\alpha$ è $\mathcal F$-trascendente perché sappiamo scrivere un'equazione differenziale di cui $\alpha$ è soluzione, che è fatta in un certo modo, e che quindi deve generare un'estensione infinita di $\mathcal F$.
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