Quanta benzina c'è in una botte cilindrica? :D

[Tricka90]

[fcd="Dominio"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
EV 35 30 95 90 0
LI 35 10 35 90 0
LI 35 90 120 90 0
LI 30 15 35 10 0
LI 40 15 35 10 0
LI 115 85 120 90 0
LI 120 90 115 95 0
LI 10 60 120 60 0
TY 120 60 4 3 0 0 0 * y=h
TY 30 55 4 3 0 0 0 * h
LI 65 60 88 41 0
LI 88 41 83 42 0
LI 88 41 87 45 0
TY 73 46 4 3 0 0 0 * r
LI 82 60 93 70 0
LI 71 60 89 78 0
LI 61 60 83 84 0
LI 52 60 76 88 0
LI 43 60 67 90 0
LI 35 60 58 89 0
LI 92 60 95 63 0
LI 65 95 65 85 0
LI 95 85 95 95 0
TY 28 6 4 3 0 0 0 * y
TY 63 96 4 3 0 0 0 * r
TY 93 96 4 3 0 0 0 * 2r
TY 123 86 4 3 0 0 0 * x
TY 30 90 4 3 0 0 0 * 0[/fcd]

Cercate di volare un po' con la fantasia: fate finta che state osservando una botte cilindrica, di raggio 'r', la quale è mezzo piena di benzina (l'area tratteggiata è la benzina, il resto è vuoto) Vorrei ottenere una formula che, in funzione del raggio 'r' della botte e del livello 'h' di benzina contenuta in essa, mi da l'area, dalla quale otterrò facilmente il volume, di benzina presente nella botte
Con r=1 e h=r, se la funzione sarà giusta, otterrò precisamente la metà dell'area di un cerchio di raggio unitario, cioè pigreco/2
Ho iniziato considerando il dominio normale all'asse delle ascisse.

\[D = \left \{\;\; 0\leq x\leq 2r\;\;\;\;\;(r+\sqrt{-x^2+2xr})\leq y\leq h \right \}\]


Ho quindi impostato l'integrale:

\[\int_{0}^{2r}h-r-\sqrt{-x^2+2xr}\;\;\;dx\]

E' abbastanza complicato quindi ho deciso di calcolarne l'integrale indefinito con WolframAlpha. Ho ottenuto una funzione molto complicata nella quale, per r=1 e h=r ottengo denominatori pari a zero e sicuramente non il pigreco/2 che mi aspettavo.
Certamente WolframAlpha non può aver colpa....quindi la colpa è tutta mia! Ma mi sapreste dire, secondo voi, dove sbaglio? Ho provato in tanti modi ma non riesco proprio ad arrivare alla soluzione!

p.s. immagino che possano esserci metodologie più semplici per risolvere un problema di questo tipo. Eppure a me piacerebbe utilizzare questo metodo, mi serve anche come esercizio per l'esame di Analisi 2 che mi attende a breve

[@melia]

La circonferenza che rappresenta la sezione della botte NON è una funzione, quindi da $(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$ NON ottieni solo $y=r+sqrt(2rx-x^2)$, ma $y=r+- sqrt(2rx-x^2)$, perché ottieni 2 funzioni distinte, quella per $h=r$.
(Ho messo $h=r$ nella seconda funzione, ma lo potresti mettere indifferentemente anche nella prima).

Per semplificare l'integrale ti consiglio di mettere il centro della circonferenza in $(0, r)$, ottieni sempre due funzioni, ma almeno l'integrale è più semplice.