Quando una matrice è diagonalizzabile???

[miik91]

Salve a tutti. Come da titolo, non mi è molto chiaro quando una matrice è diagonalizzabile. Io avevo capito che una matrice è diagonalizzabile quando ha molteplicità algebrica massima. Tuttavia mi viene il dubbio che non sia così. Fammi un esempio. Data la matrice:

[math] \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \end{bmatrix} [/math]

risulta che tale matrice ha l autovalore 1 di molteplicità algebrica pari a 2 e l autovalore 2 di molteplicità algebrica pari ad 1. Quindi se non ho sbagliato a capire, la matrice dovrebbe essere diagonalizzabile. Tuttavia risulta che l autospazio generato dall autovalore 1 ha dimensione mari ad 1. Di conseguenza la matrice non è in realtà diagonalizzabile. Intuisco a questo punto che forse non ho ben inteso alcuni concetti. Qualcuno potrebbe spiegarmi meglio quest argomento?
Grazie a tutti in anticipo.

[ciampax]

La condizione necessaria è sufficiente per la diagonalizzabilità è la seguente:

Sia data una matrice

[math]M[/math]

quadrata di ordine

[math]n[/math]

dotata di

[math]r[/math]

autovalori

[math]\lambda_i,\ i=1,\ldots,r[/math]

. Siano

[math]a_i=[/math]

molteplicità algebrica di

[math]\lambda_i[/math]

[math]m_i=[/math]

molteplicità geometrica di

[math]\lambda_i[/math]

(cioè la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore

[math]\lambda_i[/math]

)

La matrice

[math]M[/math]

risulta diagonalizzabile se e solo se

[math]\sum_{i=1}^r a_i=n[/math]

e

[math]a_i=m_i,\ \forall\ i=1,\ldots,r[/math]

.