Quando una funzione è integrabile?
Come faccio a capire se una funzione è integrabile?
Ho un esercizio che mi dà $\f(x)={(x/(x^6 +1), se |x|<1), ( x^2,se |x| >=1):}$
e poi mi chiede di dire se $\f$ è integrabile in $\ [-2,2]$ e spiegarne il perchè.
Inoltre dice: in caso di risposta affermativa calcolare $\int_-2^2f(x)dx$.
Ed infine: posto $F(x)=\int_-2^x f(t)dt$ calcolare laddove esiste F'.
Io credevo che per essere integrabile la funzione dovesse essere definita e continua in un intervallo, ma forse se i punti di discontinuità sono in numero finito non è necessario che sia continua in tutto l'intervallo. O più probabilmente non è giusto niente di tutto ciò. Insomma...ho le idee un po' confuse! Anche perchè sto riprendendo la materia dopo un bel po' di anni che non la tocco
Ho un esercizio che mi dà $\f(x)={(x/(x^6 +1), se |x|<1), ( x^2,se |x| >=1):}$
e poi mi chiede di dire se $\f$ è integrabile in $\ [-2,2]$ e spiegarne il perchè.
Inoltre dice: in caso di risposta affermativa calcolare $\int_-2^2f(x)dx$.
Ed infine: posto $F(x)=\int_-2^x f(t)dt$ calcolare laddove esiste F'.
Io credevo che per essere integrabile la funzione dovesse essere definita e continua in un intervallo, ma forse se i punti di discontinuità sono in numero finito non è necessario che sia continua in tutto l'intervallo. O più probabilmente non è giusto niente di tutto ciò. Insomma...ho le idee un po' confuse! Anche perchè sto riprendendo la materia dopo un bel po' di anni che non la tocco
Risposte
Bhe ma qui puoi spezzare l'integrale in $\int_(-2)^(-1) x^2 dx + \int_(-1)^1 x/(x^6+1) dx + \int_(1)^(2) x^2 dx$ ...
Sono tutti e tre integrali di polinomi su insiemi compatti, dunque esistono... e conseguentemente la tua $f(x)$ è integrabile nell'intervallo $[-2,2]$ .
Per la domanda finale riguardati il teorema fondamentale del calcolo.
Sono tutti e tre integrali di polinomi su insiemi compatti, dunque esistono... e conseguentemente la tua $f(x)$ è integrabile nell'intervallo $[-2,2]$ .
Per la domanda finale riguardati il teorema fondamentale del calcolo.
Credo di aver capito il ragionamento che hai fatto e ti ringrazio perchè mi hai fatto notare delle cose di cui non mi ero accorta e penso mi saranno utilissime 
. Però più in generale quali sono le condizioni che devono esserci affinchè possa considerare una funzione integrabile? Non so se sono riuscita a spiegarmi, è più che altro un discorso teorico.
. Però più in generale quali sono le condizioni che devono esserci affinchè possa considerare una funzione integrabile? Non so se sono riuscita a spiegarmi, è più che altro un discorso teorico.
Nella costruzione dell'integrale di Riemann dovresti essere passata per le somme inferiori e superiori di una funzione $f$ .
Praticamente si procede, in modo spiccio, approssimando l'area sotto la tua funzione, in modo naturale, con l'uso di rettangolini. Si suddivide l'intervallo di integrazione $[a,b]$ in piccole regioni che costituiranno le basi dei rettangolini. Fatto questo, bisogna scegliere l'altezza di questi rettangolini: un modo intelligente è prendere il massimo e il minimo della funzione $f$. In caso di funzioni continue, massimo e minimo esistono grazie al noto Teorema di Weierstrass... In caso contrario, sicuramente esistono le quantita' $\text(sup)( f )$ e $\text(inf)( f )$ ( per ogni rettangolino ) ; l'importante è che si abbia una funzione limitata.
Bene... la somma inferiore ( $s(f)$ ) è la somma delle aree dei rettangolini con altezza $\text(inf)( f )$ ; la somma superiore ( $S(f)$ ) è la somma delle aree dei rettangolini con altezza $\text(sup)( f )$. La prima approssima in difetto, la seconda in eccesso.
In breve:
Veniamo al punto...
Una funzione limitata $f:[a,b]->RR$ si dice INTEGRABILE ( secondo Riemann ) nell'intervallo $[a,b]$ se risulta:
$\text(sup) (s(f)) = \text(inf) (S(f)) $ ... ( Intuitivamente si prendono suddivisioni sempre piu' fini di $[a,b]$. )
Tale valore è detto Integrale di Riemann di $f$.
Da questa definizione si puo' procedere studiando criteri di integrabilita' decisamente più pratici, ne elenco alcuni:
- Funzioni continue su $[a,b]$ -> Integrabili
- Funzioni monotone su $[a,b]$ -> Integrabili
- Funzioni limitate con un numero finito di discontinuita' su $[a,b]$ -> Integrabili
... ad esempio la funzione di Dirichlet non e' integrabile su qualunque compatto in quanto presenta infiniti punti di discontinuita'......
... Mentre la tua $f(x)$ definita a tratti dell'esercizio ne presentava un numero finito.
Se qualcosa non ti e' chiaro, mi accorgo di non essere stato troppo rigoroso, chiedi pure e mi metto con piu' calma.
Praticamente si procede, in modo spiccio, approssimando l'area sotto la tua funzione, in modo naturale, con l'uso di rettangolini. Si suddivide l'intervallo di integrazione $[a,b]$ in piccole regioni che costituiranno le basi dei rettangolini. Fatto questo, bisogna scegliere l'altezza di questi rettangolini: un modo intelligente è prendere il massimo e il minimo della funzione $f$. In caso di funzioni continue, massimo e minimo esistono grazie al noto Teorema di Weierstrass... In caso contrario, sicuramente esistono le quantita' $\text(sup)( f )$ e $\text(inf)( f )$ ( per ogni rettangolino ) ; l'importante è che si abbia una funzione limitata.
Bene... la somma inferiore ( $s(f)$ ) è la somma delle aree dei rettangolini con altezza $\text(inf)( f )$ ; la somma superiore ( $S(f)$ ) è la somma delle aree dei rettangolini con altezza $\text(sup)( f )$. La prima approssima in difetto, la seconda in eccesso.
In breve:
Veniamo al punto...
Una funzione limitata $f:[a,b]->RR$ si dice INTEGRABILE ( secondo Riemann ) nell'intervallo $[a,b]$ se risulta:
$\text(sup) (s(f)) = \text(inf) (S(f)) $ ... ( Intuitivamente si prendono suddivisioni sempre piu' fini di $[a,b]$. )
Tale valore è detto Integrale di Riemann di $f$.
Da questa definizione si puo' procedere studiando criteri di integrabilita' decisamente più pratici, ne elenco alcuni:
- Funzioni continue su $[a,b]$ -> Integrabili
- Funzioni monotone su $[a,b]$ -> Integrabili
- Funzioni limitate con un numero finito di discontinuita' su $[a,b]$ -> Integrabili
... ad esempio la funzione di Dirichlet non e' integrabile su qualunque compatto in quanto presenta infiniti punti di discontinuita'......
... Mentre la tua $f(x)$ definita a tratti dell'esercizio ne presentava un numero finito.
Se qualcosa non ti e' chiaro, mi accorgo di non essere stato troppo rigoroso, chiedi pure e mi metto con piu' calma.
"Hadronen":
Bhe ma qui puoi spezzare l'integrale in $\int_(-2)^(-1) x^2 dx + \int_(-1)^1 x/(x^6+1) dx + \int_(1)^(2) x^2 dx$ ...
Sono tutti e tre integrali di polinomi su insiemi compatti, dunque esistono...
Veramente non proprio, la funzione
\begin{equation}
x\mapsto \frac{x}{x^6+1}
\end{equation}
non è un polinomio. Comunque essa è integrabile su \([-1, 1]\) e tutto il resto del ragionamento fila liscio.
"dissonance":
[quote="Hadronen"]Bhe ma qui puoi spezzare l'integrale in $\int_(-2)^(-1) x^2 dx + \int_(-1)^1 x/(x^6+1) dx + \int_(1)^(2) x^2 dx$ ...
Sono tutti e tre integrali di polinomi su insiemi compatti, dunque esistono...
Veramente non proprio, la funzione
\begin{equation}
x\mapsto \frac{x}{x^6+1}
\end{equation}
non è un polinomio. Comunque essa è integrabile su \([-1, 1]\) e tutto il resto del ragionamento fila liscio.[/quote]
Sì, certo. Composizione di polinomi... dunque il calcolo andava giustificato in modo meno frettoloso.
Non è così facile. Una funzione razionale può dare problemi all'integrabilità: quanto fa
\[
\int_0^1 \frac{1}{x}\, dx?
\]
\[
\int_0^1 \frac{1}{x}\, dx?
\]
"dissonance":
Non è così facile. Una funzione razionale può dare problemi all'integrabilità: quanto fa
\[
\int_0^1 \frac{1}{x}\, dx?
\]
Certo, certo. Avevo appena modificato il messaggio.
Ho solo concluso velocemente in quanto $x/(x^6+1)$ non da problemi di nessun tipo.
Nono sei stato chiarissimo e la lettura di ciò che hai scritto un piacevole e utile ripasso. Per cui posso sicuramente dire che la funzione è integrabile in quanto limitata e con numero finito di discontinuità. Grazie mille per il tempo speso nell'attenta spiegazione. Sei stato gentilissimo!
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