Quando una funzione a due variabili è integrabile
Buonasera a tutti. Sul mio libro di Analisi, ho trovato il seguente teorema:
Se f è una funzione continua e limitata, definita in un dominio chiuso e limitato D il cui bordo è l'unione di curve di lunghezza finita, allora f è integrabile su D.
Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa significa di preciso?
In modo particolare quando afferma che il bordo di D è l'unione di curve di lunghezza finita?
Grazie dell'attenzione e buon proseguimento.
Se f è una funzione continua e limitata, definita in un dominio chiuso e limitato D il cui bordo è l'unione di curve di lunghezza finita, allora f è integrabile su D.
Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa significa di preciso?
In modo particolare quando afferma che il bordo di D è l'unione di curve di lunghezza finita?
Grazie dell'attenzione e buon proseguimento.
Risposte
Strano teorema: essendo per ipotesi \(\displaystyle D\) chiuso è limitato allora esso è un insieme compatto, per ipotesi \(\displaystyle f\) è continua su \(\displaystyle D\) quindi è limitata.
Ora dove vuoi integrare \(\displaystyle f\): su \(\displaystyle D\) o su \(\displaystyle\partial D\)?
Ora dove vuoi integrare \(\displaystyle f\): su \(\displaystyle D\) o su \(\displaystyle\partial D\)?
Ciao, grazie della tua risposta.
Comunque ho dimenticato di dire che si tratta di integrazione doppia. Ho cercato un po' in rete e ho individuato la seguente definizione che mi sembra equivalente:
Si consideri:
un insieme $A in R^2$ limitato e misurabile
una funzione $f : A rightarrow R$ limitata e continua.
Allora la funzione è integrabile su A.
Inoltre un insieme è misurabile se il suo bordo può essere ricoperto mediante un famiglia finita di rettangoli la somma delle cui aree è piccola a piacere. Generalizzando, cioè, l'area del bordo deve avere area nulla.
Qualcuno può confermare la seguente definizione di insieme misurabile?
Comunque ho dimenticato di dire che si tratta di integrazione doppia. Ho cercato un po' in rete e ho individuato la seguente definizione che mi sembra equivalente:
Si consideri:
un insieme $A in R^2$ limitato e misurabile
una funzione $f : A rightarrow R$ limitata e continua.
Allora la funzione è integrabile su A.
Inoltre un insieme è misurabile se il suo bordo può essere ricoperto mediante un famiglia finita di rettangoli la somma delle cui aree è piccola a piacere. Generalizzando, cioè, l'area del bordo deve avere area nulla.
Qualcuno può confermare la seguente definizione di insieme misurabile?
Ma perché il bordo può avere area non nulla? 
In effetti pure a me pare strano. Ci sono domini con il bordo frattale e schifezze del genere, ma finché uno non vuole calcolare integrali di superficie non ha bisogno di preoccuparsene.
Pur'io ho pensato ai frattali[nota]In questo discorso, è meglio specificare che: esistono frattali di area finita e perimetro infinito, ad esempio il frattale di Mandelbrot; da quanto ho capito, possono esistere frattali il cui perimetro abbia un'area positiva (secondo qualche misura).[/nota]; ma non ricordo che nella costruzione degli integrali multipli si tenga conto della misura del bordo...
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