Quando un limite non esiste?

[BoG3]

Ciao a tutti,
ho un dubbio:
Il mio esercizio dice: calcola il limite:
$lim_(x\to2) (x^2-4)/(x^2-4x+4)$ ... fattorizzando e semplificando ottengo $lim_(x\to2) (x+2)/(x-2) = 4/0 = +\infty$

so che un limite non esiste in $x_0$ se avvicinandomi da destra e da sinistra trovo limiti diversi, quindi nel mio caso, se il limite non esistesse in $x_0 = 2$ dovrebbe essere:

$lim_(x\to2^-) (x^2-4)/(x^2-4x+4) = l_1$
$lim_(x\to2^+) (x^2-4)/(x^2-4x+4) = l_2$

con $l_1 != l_2, l_1, l_2 \in RR$.

la domanda è: quando devo insospettirmi e pensare che il limite forse non esiste in un punto $x_0$?.
forse quando vedo che ha un asintoto verticale? Pero' non credo sia l'unico caso perchè (correggetemi se sbaglio):
ci sono funzioni che non hanno asintoti verticali in un punto $x_0$ eppure in quel punto non sono derivabili e siccome la derivata in un punto $x_0$ è un limite della funzione stessa in $x_0$, non esiste manco il limite!

Quindi come posso intuire che in un punto di una funzione forse non c'è il limite?

grazie mille

[Sk_Anonymous]

Intanto, $[lim_(x->2)(x+2)/(x-2)=4/0=+oo]$ è sbagliato.

[BoG3]

Perchè no?

$lim_(x\to2^+) (x^2-4)/(x^2-4x+4) = ((x-2)(x+2))/((x-2)(x-2))=(x+2)/(x-2) = (2^+ +2)/(2^+ -2) = 4^+/0^+ = +\infty$

e

$lim_(x\to2^-) (x^2-4)/(x^2-4x+4) = ((x-2)(x+2))/((x-2)(x-2))=(x+2)/(x-2) = ((2^-) +2)/((2^-) -2) = 4^-/(0^-) = -\infty$ (poiche' $0^-$ è un numero negativo).

non capisco dove ho sbagliato nel procedimento.

[Sk_Anonymous]

Adesso è corretto. Voglio dire, non avevi fatto i due casi. In questo caso esiste il limite sinistro, esiste il limite destro, ma, siccome non coincidono, il limite nel suo complesso non esiste.

[BoG3]

pero' non ho capito quando dovei controllare il limite dx e sx per vedere se il limite esiste... dovrei cercare i punti dove essa nn è derivabile? quindi controllo le condizioni di esistenza della funzione stessa?

[Sk_Anonymous]

In linea generale, la stragrande maggioranza delle funzioni è continua nel dominio di definizione. Ergo, dovresti fare i limiti nei punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio. Discorso a parte meritano le funzioni definite a tratti.

[Gi81]

Mi permetto una correzione:

"speculor":la stragrande maggioranza delle funzioni che si vedono a scuola è continua nel dominio di definizione

[Sk_Anonymous]

Questioni contingenti. In ogni modo:

"speculor":
In linea generale, la stragrande maggioranza delle funzioni è continua nel dominio di definizione.

Grazie per il tuo punto di vista:

"Gi8":
la stragrande maggioranza delle funzioni che si vedono a scuola è continua nel dominio di definizione

Voglio dire, se mi permetti, ad ognuno il suo.

[Sk_Anonymous]

Dopo un breve quanto proficuo scambio di messaggi privati, Gi8 mi ha fatto notare che c'era un errore sintattico in quanto da me scritto in uno dei messaggi precedenti. Nel ringraziarLo, ho provveduto alla dovuta correzione. Tornando al merito, con la locuzione in linea generale intendevo riferirmi al probabile contesto in cui la discussione era stata aperta. Nella speranza di non dover rendere conto anche dell'aggettivo probabile, attendo ulteriori sviluppi.