Quando si controlla l'intersezione con l'asintoto

[marioin]

Come si fa a sapere quando f(x) interseca l'asintoto, come per es una funzione con asintoto obliquo y=x e la funz diciamo partendo da 0 resta sotto l'asintoto ma cresce superando l'asintoto e quindi intersecandolo e poi decresce e si riavvicina all'asintoto fino all'infinito. Cosa permette di trovare queste intersezioni durante lo studio della funzione? Oppure si deve controllare per ogni funzione con un asintoto se interseca facendo un sistema con la retta e la f(x)?

[ELWOOD1]

Ciao,
il fatto è che un asintoto è proprio definito come " una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data".
Pertanto una funzione solitamente non lo interseca mai.
Altra cosa è l'intersezione tra funzioni

[marioin]

Grazie della risposta.

Ho trovato questa foto che e' più' o meno quello che intendevo, che all'infinito e' un asintoto, pero' prima viene intersecato



oppure invece di stare sopra la retta, continua a decrescere per ripassare l'asintoto e tendere a quest'ultimo da sotto, come si fa a capire?

[gugo82]

"ELWOOD":il fatto è che un asintoto è proprio definito come " una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data".
Pertanto una funzione solitamente non lo interseca mai.

Ma quando mai?

Ad esempio il grafico della funzione:
\[
f(x):=\frac{1}{x}\ \sin x
\]
ha come asintoto orizzontale (a destra ed a sinistra) la retta d'equazione \(y=0\), l'asse delle ascisse, epperò interseca tale retta infinite volte.

Analogamente, il grafico della funzione:
\[
g(x):= x+f(x)
\]
ha come asintoto obliquo a destra ed a sinistra la retta d'equazione \(y=x\), e tale grafico taglia l'asintoto in infiniti punti.

Il grafico della funzione:
\[
h(x) := \max \{0,x\}
\]
ha come asintoto orizzontale a sinistra la retta d'equazione \(y=0\), ed il suo grafico coincide con tale retta. Analogamente, il grafico di \(h\) ha come asintoto obliquo a destra la retta d'equazione \(y=x\), ed il grafico coindice on tale retta.

Quindi, cerchiamo di andarci coi piedi di piombo quando spariamo generalizzazioni così larghe, grazie.

[marioin]

Grazie delle risposte.

Era proprio in esempi come le funzione date da te gugo che avevo dubbi. Quindi in questi casi, quando si va a studiare tale funzione, c'e' qualche cosa come per es un limite che esce in un certo modo, oppure bisogna fare un sistema tra l'asintoto e la funz per trovare eventuali punti in comune?

[ELWOOD1]

Ma quando si parla di asintoti si fa sempre riferimento alla definizione che ho detto. Quindi "indefinitivamente" la funzione non raggiunge mai il valore dell'asintoto. Poi è vero come negli esempi che la funzione lo intersechi prima

[gugo82]

"ELWOOD":Ma quando si parla di asintoti si fa sempre riferimento alla definizione che ho detto. Quindi "indefinitivamente" la funzione non raggiunge mai il valore dell'asintoto. Poi è vero come negli esempi che la funzione lo intersechi prima

Di nuovo, ma quando mai?
Ti ho appena mostrato con esempi che la frase in grassetto non è vera... Perché insisti sullo stesso punto?

L'unica cosa che mi viene da pensare è che tu abbia una definizione sbagliata di asintoto.
Quindi, scusa ELWOOD, mi dici la definizione di asintoto alla quale ti riferisci?
Intendo una definizione più formalizzata di questa:

"ELWOOD":un asintoto è proprio definito come " una retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina indefinitamente una funzione data".

ovviamente.

[ELWOOD1]

Molto brevemente la definizione a cui faccio riferimento io è che (informalmente) all'infinito la funzione non lo tocca mai l'asintoto.

Anche la funzione che hai postato lo interseca infinite volte, ma la funzione non ha mai all'infinito il valore pari all'asintoto.
Comunque è molto probabile che mi sbagli, ma intuitivamente lo considero così l'asintoto

[gugo82]

"ELWOOD":Molto brevemente la definizione a cui faccio riferimento io è che (informalmente) all'infinito la funzione non lo tocca mai l'asintoto.

Questa non è una definizione, sono solo parole messe lì a caso.

"ELWOOD":Anche la funzione che hai postato lo interseca infinite volte, ma la funzione non ha mai all'infinito il valore pari all'asintoto.

Che vuol dire "la funzione non ha mai all'infinito il valore pari all'asintoto"?

"ELWOOD":Comunque è molto probabile che mi sbagli, ma intuitivamente lo considero così l'asintoto

Qui l'intuizione c'entra poco o nulla.
Soprattutto se non sai nemmeno bene di cosa tu stia parlando...

La definizione di asintoto in \(+\infty\) è la seguente.

Siano \(X\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto e contenente un intorno di \(+\infty\) (cioè esiste un \(x_0\in \mathbb{R}\) tale che \(]x_0,+\infty[\subseteq X\)) ed \(f:X\to \mathbb{R}\).
Si dice che la retta d'equazione \(y=m\ x+q\) è un asintoto per il diagramma del grafico di \(f\) in \(+\infty\) se e solo se risulta:
\[
\lim_{x\to \infty} f(x)-m\ x-q=0\; .
\]
In tal caso, l'asintoto si dice obliquo se \(m\neq 0\) oppure orizzontale se \(m=0\).

Quindi, come vedi, non c'è nessun riferimento al fatto che il grafico di una funzione tagli o no la retta asintoto nella definizione.
Questa definizione ti sta dicendo che \(f\) è un infinito in \(+\infty\) e che la parte principale di \(f\) è una funzione lineare.

Inoltre dalla definizione si traggono le seguenti conseguenze:

Siano \(X\) ed \(f\) come sopra.
Il diagramma del grafico di \(f\) ha un asintoto orizzontale in \(+\infty\) se e solo se esiste finito il limite:
\[
\tag{1} \lim_{x\to +\infty} f(x)\; .
\]
In tal caso l'asintoto orizzontale è quello d'equazione \(y=q\), ove \(q\) è il valore del limite (1).

Siano \(X\) ed \(f\) come sopra.
i) Condizione necessaria affinché il diagramma del grafico di \(f\) abbia un asintoto obliquo in \(+\infty\) è che:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty \qquad \text{oppure}\qquad \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty\; .
\]
ii) Condizione sufficiente affinché il diagramma del grafico di \(f\) abbia un asintoto obliquo in \(+\infty\) è che:

[*:p3b8sezp] esista finito e non nullo il:
\[
\tag{2} \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x}\ f(x)\; ;
\][/*:m:p3b8sezp]
[*:p3b8sezp] detto \(m\) il valore del limite (2), esista finito anche il:
\[
\tag{3} \lim_{x\to +\infty} f(x)-m\ x\; .
\][/*:m:p3b8sezp][/list:u:p3b8sezp]
In tal caso, detto \(q\) il valore del limite (3), l'asintoto obliquo è la retta d'equazione \(y=m\ x+q\).

Tali conseguenze sono quelle che ti consentono di individuare praticamente gli asintoti dei diagrammi.

Ovviamente la definizione di asintoto si può generalizzare a curve di svariata natura: ad esempio:

Siano \(X\) ed \(f\) come sopra.
Se esiste una funzione \(g\) definita in un intorno di \(+\infty\) tale che:
\[
\lim_{x\to +\infty} f(x)-g(x)=0\; ,
\]
si dice che la curva d'equazione \(y=g(x)\) è una curva asintotica per il diagramma del grafico di \(f\).

Anche qui non c'è alcun riferimento alle intersezioni dei diagrammi dei grafici di \(f\) e \(g\).

Ad esempio, il diagramma del grafico della funzione:
\[
f(x)=x^2+2\ \frac{\sin 5x}{x}
\]
ha come curva asintotica la parabola di equazione \(y=x^2\), come si può ben vedere dal disegno che segue (il diagramma del grafico di \(f\) è in rosso, la parabola \(y=x^2\) in grigio).
[asvg]xmin=0; xmax=6.28; ymin=-2; ymax=38;
axes("","");
stroke="red"; plot("x^2+2*(sin(5*x))/x");
stroke="grey"; plot("x^2");[/asvg]
Nota che, anche in questo caso, il diagramma di \(f\) interseca infinite volte la curva asintoto.

[ELWOOD1]

Avendo fatto analisi parecchio tempo fa, ammetto di essermi affidato alla definizione di wikipedia:

http://it.wikipedia.org/wiki/Asintoto

Grazie comunque per aver esposto con chiarezza e professionalità l'argomento.

[gugo82]

Prego