Quando gli asintotici fanno fiasco
Ho trovato questo esempio che mi ha lasciato a bocca aperta:
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{e^{x^2+x}}{2}}{\frac{e^{x^2}}{2}} \]
Primo modo
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{e^{x^2+x}}{2}}{\frac{e^{x^2}}{2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty \]
Secondo modo
Poiché
\[ x^2+x \sim x^2 \qquad \text{per}\ x \rightarrow +\infty \]
Allora
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{e^{x^2+x}}{2}}{\frac{e^{x^2}}{2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{e^{x^2}}{2}}{\frac{e^{x^2}}{2}} = 1 \]
Com'è possibile che la relazione asintotica mi porta ad un risultato sbagliato? Più in generale come si fa a capire quando è lecito utilizzarla senza problemi?
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{e^{x^2+x}}{2}}{\frac{e^{x^2}}{2}} \]
Primo modo
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{e^{x^2+x}}{2}}{\frac{e^{x^2}}{2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^x = +\infty \]
Secondo modo
Poiché
\[ x^2+x \sim x^2 \qquad \text{per}\ x \rightarrow +\infty \]
Allora
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{e^{x^2+x}}{2}}{\frac{e^{x^2}}{2}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\frac{e^{x^2}}{2}}{\frac{e^{x^2}}{2}} = 1 \]
Com'è possibile che la relazione asintotica mi porta ad un risultato sbagliato? Più in generale come si fa a capire quando è lecito utilizzarla senza problemi?
Risposte
perche la parte principale di $e^{x^2+x}$ quando $x\to+infty$ è $e^{x^2+x}$ e non $e^{x^2}$
Non è così scontato che valga una regoletta di quel tipo, anche se una sostituzione del genere è del tutto innocua all'apparenza; infatti è errata. In generale hai bisogno di un teorema che ti dica chiaramente sotto quali ipotesi puoi utilizzare queste stime asintotiche (di solito si chiama principio di sostituzione degli infiniti).
In generale, l'esempio precedente, mostra sostanzialmente il comportamento diverso di esponenziali e logaritmi relativamente alla determinazione della parte principale: se l'argomento del logaritmo è un infinito, la parte principale del logaritmo è il logaritmo della parte principale, cioè detto alla buona, nell'argomento del logaritmo si tiene solo l'infinito puù alto; diversamente, la parte principale di un esponenziale non è l'esponenziale della parte principale. Per intenderci,
cerchiamo di capire sotto che ipotesi si può affermare che
\begin{align}
e^{f(x)}\sim e^{g(x)}
\end{align}
scriviamo allora
\begin{align}
\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}=e^{f(x)-g(x)} \to 1 \Leftrightarrow f(x)-g(x)\to0
\end{align}
a questo punto bisogna capire sotto quali ipotesi è vero che se $f(x)\sim g(x)$ allora $f(x)-g(x)\to0$
Allora Abbiamo che:
\begin{align}
f(x)-g(x)=g(x)\begin{matrix} \underbrace{\left(\frac{ f(x) }{ g(x) }-1\right)}_{\to 0} \end{matrix} \to 0 \Leftrightarrow g(x)\mbox{ è limitata}
\end{align}
poichè $f\sim g, f/(g-1)\to1$ e se $g$ è limitata il prodotto tende a zero. In conclusione: se $f\sim g$ ed inoltre $g$ è limitata allora $f-g\to0;$ in generale però $f\sim g$ non implica $f-g\to0;$ in particolare se $f\sim g$ e $g$ è limitata allora
\begin{align}
e^{f(x)}\sim e^{g(x)}
\end{align}
cerchiamo di capire sotto che ipotesi si può affermare che
\begin{align}
e^{f(x)}\sim e^{g(x)}
\end{align}
scriviamo allora
\begin{align}
\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}=e^{f(x)-g(x)} \to 1 \Leftrightarrow f(x)-g(x)\to0
\end{align}
a questo punto bisogna capire sotto quali ipotesi è vero che se $f(x)\sim g(x)$ allora $f(x)-g(x)\to0$
Allora Abbiamo che:
\begin{align}
f(x)-g(x)=g(x)\begin{matrix} \underbrace{\left(\frac{ f(x) }{ g(x) }-1\right)}_{\to 0} \end{matrix} \to 0 \Leftrightarrow g(x)\mbox{ è limitata}
\end{align}
poichè $f\sim g, f/(g-1)\to1$ e se $g$ è limitata il prodotto tende a zero. In conclusione: se $f\sim g$ ed inoltre $g$ è limitata allora $f-g\to0;$ in generale però $f\sim g$ non implica $f-g\to0;$ in particolare se $f\sim g$ e $g$ è limitata allora
\begin{align}
e^{f(x)}\sim e^{g(x)}
\end{align}
il mio professore di Analisi 1, a lezione quando gli capitava sempre cose di questo tipo, per esempio $\exp(x^2+x)$ per $x\to +\infty$
usava sempre il simbolo di eguale ordine di grandezza
Riporto qui la definizione che c'è sul mio testo che è eguale a quella che ha dato lui, è per le successioni, ma vale anche per le funzioni!
per esempio nel tuo caso \(\displaystyle \exp(x^2+x)\asymp \exp(x^2) \) per $x\to +\infty$
$0<1\leq (\exp(x^2+x))/(\exp(x^2))\leq 3!$
dovrebbe essere giusta la disuguaglianza, sennò non mi è venuto in mente su cosa posso minorare $e^x$
2 funzioni asintitoche per $x\to p$ hanno anche eguale ordine di grandezza, MA non vale l'implicazione inversa.
usava sempre il simbolo di eguale ordine di grandezza
Riporto qui la definizione che c'è sul mio testo che è eguale a quella che ha dato lui, è per le successioni, ma vale anche per le funzioni!
per esempio nel tuo caso \(\displaystyle \exp(x^2+x)\asymp \exp(x^2) \) per $x\to +\infty$
$0<1\leq (\exp(x^2+x))/(\exp(x^2))\leq 3!$
dovrebbe essere giusta la disuguaglianza, sennò non mi è venuto in mente su cosa posso minorare $e^x$
2 funzioni asintitoche per $x\to p$ hanno anche eguale ordine di grandezza, MA non vale l'implicazione inversa.
@21zuclo: Ma scusa, se avevamo già assodato che $e^(x^2 + x)/(e^(x^2)) = e^x$, come puoi scrivere quella disuguaglianza??
$e^x$ è illimitata superiormente in un intorno di $+oo$.
$e^x$ è illimitata superiormente in un intorno di $+oo$.
"21zuclo":
per esempio nel tuo caso \(\displaystyle \exp(x^2+x)\asymp \exp(x^2) \) per $x\to +\infty$
questo non è vero!
guarda sopra ..
@ Seneca e @Noisemaker
avete ragione entrambi, sì è vero $e^x$ è illimitata in un intorno di $+\infty$. Pardon scusate per il disturbo e per l'errore!..ammetto il mio errore..avete ragione!
comunque ora che ci faccio caso, scrivere $e^{x^2+x}\sim e^{x^2}$ per $x\to +\infty$ è FALSO
perchè $\lim_{x\to +\infty} (e^{x^2+x})/(e^{x^2})=\lim_{x\to +\infty} (e^x)=+\infty$
avete ragione entrambi, sì è vero $e^x$ è illimitata in un intorno di $+\infty$. Pardon scusate per il disturbo e per l'errore!..ammetto il mio errore..avete ragione!
comunque ora che ci faccio caso, scrivere $e^{x^2+x}\sim e^{x^2}$ per $x\to +\infty$ è FALSO
perchè $\lim_{x\to +\infty} (e^{x^2+x})/(e^{x^2})=\lim_{x\to +\infty} (e^x)=+\infty$
Grazie per le vostre risposte interessanti, ci mediterò sopra.
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