Quando esiste finito l'integrale.
Salve a tutti; ho incontarto un ercizio che diceva:
Dire per quali valori del parametro $\alpha>0$ esiste finito il seguente integrale:
$int_(1)^(+\infty) 1/x^\alpha arcsen 1/sqrt(x)dx$ come prima cosa ho visto di che tipo di integrale si tratta ed è un integrale improprio.Quindi ho verificata quando esiste finito tarmite il solito criterio chiamando il secondo parametro $\beta$:
$lim_(x->+\infty)1/x^\alphaarcsen(1/sqrt(x))x^\beta$ che ho scritto come $lim_(x->+\infty) x^\beta/x^\alphaarcsen(1/sqrt(x))$ ora il secondo fattore cioè arcsen tende a $0$ quindi l'unica possibilità che questo limite converga è che anche il secondo fattore converga $x^\beta/x^\alpha$ questo fattore converge solo se $\alpha>=\beta$ ma affinche vi sia la sommabilità $\beta>1$ quindi in conclusione l'integrale esiste finito solo se $\alpha>1$.é corretto il mio ragionamento o sbagliato?
Dire per quali valori del parametro $\alpha>0$ esiste finito il seguente integrale:
$int_(1)^(+\infty) 1/x^\alpha arcsen 1/sqrt(x)dx$ come prima cosa ho visto di che tipo di integrale si tratta ed è un integrale improprio.Quindi ho verificata quando esiste finito tarmite il solito criterio chiamando il secondo parametro $\beta$:
$lim_(x->+\infty)1/x^\alphaarcsen(1/sqrt(x))x^\beta$ che ho scritto come $lim_(x->+\infty) x^\beta/x^\alphaarcsen(1/sqrt(x))$ ora il secondo fattore cioè arcsen tende a $0$ quindi l'unica possibilità che questo limite converga è che anche il secondo fattore converga $x^\beta/x^\alpha$ questo fattore converge solo se $\alpha>=\beta$ ma affinche vi sia la sommabilità $\beta>1$ quindi in conclusione l'integrale esiste finito solo se $\alpha>1$.é corretto il mio ragionamento o sbagliato?
Risposte
Salve.
Questo ti permette solo di dire che l'integrale converge se $\alpha \geq 1$ (lo si poteva dedurre anche scrivendo $\arcsen(\frac 1{\sqrt x}) \leq \frac{\pi}2$).
Per trovare tutti i $\alpha$ puoi utilizare $\arcsen(\frac 1{\sqrt x}) \sim \frac 1{\sqrt{x}}$ in $+\infty$ perche' $\arcsen x \sim x$ in $0$.
Questo ti permette solo di dire che l'integrale converge se $\alpha \geq 1$ (lo si poteva dedurre anche scrivendo $\arcsen(\frac 1{\sqrt x}) \leq \frac{\pi}2$).
Per trovare tutti i $\alpha$ puoi utilizare $\arcsen(\frac 1{\sqrt x}) \sim \frac 1{\sqrt{x}}$ in $+\infty$ perche' $\arcsen x \sim x$ in $0$.
Hai ragione potevo fare anche quel passaggio; però se nn sbaglio 1 nn è incluso perchè in questo caso se $\alpha=1$ e $\beta=1$ si verrebbe sempre 0 ma per la tesi del teorema nel caso in cun $l=0$ la funzione è sommabile solo se $\beta>\$.
Se il limite è $0$ per $\beta >1$ lo sara' anche per $\beta =1$ ma non si protra concludere niente.
Ah si questo è vero il limite sarà $0$ anke in quel caso; ma nn posso dire nulla sulla sommabilità.Scusa un'altra cosa hai quelke idea su come possa calcolare quell'integrale?
Ti è chiesto?
Puoi provare il cambiamento $u=\frac 1{\sqrt x }$ ma non so' se si puo' calcolarla.
Puoi provare il cambiamento $u=\frac 1{\sqrt x }$ ma non so' se si puo' calcolarla.
Si mi viene chiesto di calcolarlo nel caso $\alpha=2$.
Hai provato il cambiamento?
Sembra che dia $I=2\int_0^1t.\arcsen t \ dt$ (il caso $alpha =2$ è il più facile). Nel caso generale non so' se lo si puo' calcolare.
Sembra che dia $I=2\int_0^1t.\arcsen t \ dt$ (il caso $alpha =2$ è il più facile). Nel caso generale non so' se lo si puo' calcolare.
No mi viene detto di calcolarlo solo nel caso partcolare $\alpha=2$ e nn nel caso generale.
Infatti non ho veramente cercato nel' caso generale. Sei riuscito (nel caso ($\alpha =2$)?
No ci sto provando ora a risolverlo; vediamo cosa mi viene fuori.
Allora sn rimasto bloccato al calcolo di questa primitiva $int(t^2)/(sqrt(1-t^2))dt$.
Scrivi $-\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{1-t^2-1}{\sqrt{1-t^2}} =\sqrt{1-t^2} - \frac 1{sqrt{1-t^2}}$.
Io stavo provando a risolverlo con il metodo degli integrali irrazionali ; cioè il caso in cui si ha un trinomio si secondo grado con $a<0$; ma nn ci sn riuscito.Il meto che hai adottato tu nn l'ho mai visto.Ma poi se metti il meno davanti alla frazione nn alteri tutto?Devo mettere il meno anke fuori dal segno di integrale.
Basta solo moltiplicare per $-1$ (havevo messo un meno davanti per scrivere meglio la semplificazione)
Per integrare il primo termine utilizzi $u =\cos x$ e per la seconda è $arcsen$.
Per integrare il primo termine utilizzi $u =\cos x$ e per la seconda è $arcsen$.
"girdav":
Basta solo moltiplicare per $-1$ (havevo messo un meno davanti per scrivere meglio la semplificazione)
Per integrare il primo termine utilizzi $u =\cos x$ e per la seconda è $arcsen$.
Grazie 1000 per l'aiuto ma potreti spiegarmi meglio come hai fatto quei passaggi e quelle semplificazioni.
Tutto è basato sull' fatto che $-x^2=1-x^2-1$ e $\frac{X}{\sqrt X} =\sqrt X$ per $X>0$.
Ok ora ci provo e se ho qualke problema ti faccio sapere.
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