Quando effettuare cambio di variabile (T) per risolvere i limiti

[Senzarazza00]

ciao a tutti, mi sono iscritto perche devo afrontare l'esame di analisi 1...
grazie ai vostri video sto facendo progressi ma mi manca ancora qualcosa...

ad esempio(spero di farmi capire).. lim di x che tende a 2π di 1-cosx / (2π-x)^2 ...

perche si usa un cambio di variabile T e si sostituisce a 2π-x??

e quando viene usata la T in generale??
grazie mille

[Newton_1372]

bastava mettere due parentesi e due simboli di dollaro per renderle tutto un pò più leggibile...io non so se 1-cos x è tutto al numeratore o se la la frazione "inizia" con cos x...provo a indovinare...il cambiamento di variabile è uno strumento matematico, e per tanto va usato quando fa comodo...non è mica detto che devi fare necessariamente la sostituzione, puoi anche lasciare così (osservando che una certa espressione tende a un certo valore)....poi non so, specifica meglio la domanda...
Comunque per quanto riguarda il limite, moltiplica sopra e sotto per $1+\cos x$.Al num avrai un prodotto notevole che ti permetterà di usare il famigerato $\lim_{x\to 0} \sin(x)/x=1

[Brancaleone1]

Benvenuto.
Per affrontare un limite esistono strade diverse - limiti notevoli, divisione di polinomi, sostituzioni, Hôpital, Taylor/McLaurin, gerarchia degli infiniti/infinitesimi (asintoticità)...
A seconda di come il limite è impostato alcune strade possono essere più facilmente percorribili, altre invece se non soddisfano i requisiti richiesti non possono essere prese in considerazione (e.g. Hôpital può essere impiegato solo quando tutte le ipotesi sono soddisfatte).

Prendendo il tuo limite:

$lim_(x->2pi) (1-cos(x))/(2pi-x)^2=0/0$

puoi operare nei seguenti modi:

Limite notevole: ti accorgi che il limite è simile al limite notevole

$lim_(x->0) (1-cos(x))/x^2=1/2$

Nel tuo limite per $x_0=2pi$ numeratore e denominatore si annullano analogamente a questo limite notevole, perciò puoi concludere che

$lim_(x->2pi) (1-cos(x))/(2pi-x)^2=1/2$

Sostituzione: impiegando la sostituzione $t=2pi-x=>x=2pi-t$ il limite diventa

$lim_(x->2pi) (1-cos(x))/(2pi-x)^2=lim_(t->0) (1-cos(2pi-t))/t^2$

ma anche questo è analogo al limite notevole di cui sopra, quindi il limite vale $1/2$.
NB: in questo caso la sostituzione effettuata è inutile, ha solo allungato la risoluzione senza apportare modifiche vantaggiose.

Hôpital: il limite rispetta tutte le ipotesi necessarie per utilizzare la regola di de L'Hôpital, quindi

$lim_(x->2pi) (1-cos(x))/(2pi-x)^2=text(Hôpital)=>sin(x)/(-2(2pi-x))=text(Hôpital)=>cos(x)/2=1/2$

Taylor: sviluppando il coseno attraverso la serie di Taylor e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore pervieni a

$lim_(x->2pi) (1-cos(x))/(2pi-x)^2=(1-(1-(x-2pi)^2/2))/(2pi-x)^2=(1/2(x-2pi)^2)/(2pi-x)^2=1/2$

McLaurin: puoi sviluppare il coseno attraverso la serie di McLaurin, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, dalla sostituzione $t=2pi-x$, ottenendo

$lim_(x->2pi) (1-cos(x))/(2pi-x)^2=lim_(t->0) (1-cos(2pi-t))/t^2=(1-(1-t^2/2))/t^2=(1/2 t^2)/t^2=1/2$

L'impiego dell'asintoticità riporta qui agli stessi casi di Taylor e McLaurin, così come la gerarchia degli infinitesimi è stata usata per trascurare i termini di infinitesimi superiori negli stessi sviluppi.

Come vedi puoi impiegare la strada che più ti aggrada, anche utilizzando più metodi, basta che sia possibile farlo

[Newton_1372]

Scusa ma come hai usato il limite notevole? Quella cosa puoi farla solo se l'argomento del coseno tende a 0...non mi convince molto...

[Brancaleone1]

Beh $cos(2pi)=cos(0)=1$. Non è strettamente necessario che l'argomento del coseno sia nullo - l'essenziale è che num e den siano infinitesimi di ordine 2.