Quando e sotto quali premesse è lecito sostituire gli sviluppi di Taylor??
Sappiamo che per la risoluzione di alcuni limiti è lecito sostituire gli sviluppi di Taylor.
Se non vado errato ciò è possibile poiché approssimando la funzione iniziale con un polinomio di Taylor lo scarto (differenza tra polinomio e funzione) è un o-piccolo ( trascurabile).
Primo dubbio: sotto quali premesse è possibile sostituire "l'asintotico"?
Secondo dubbio: Per la risoluzione di quali tipi di problemi-esercizi è possibile sostituire l'asintotico?
Per gli integrali,serie,limiti e per cosa altro??
Terzo ed ultimo dubbio: C'è una qualche relazione tra funzioni analitiche e la possibilità di scriverle sotto forma di polinomio di Taylor!!
Scusate "l'ignoranzità" ma sono un novellino della materia !!!
Ringrazio anticipatamente !!
Se non vado errato ciò è possibile poiché approssimando la funzione iniziale con un polinomio di Taylor lo scarto (differenza tra polinomio e funzione) è un o-piccolo ( trascurabile).
Primo dubbio: sotto quali premesse è possibile sostituire "l'asintotico"?
Secondo dubbio: Per la risoluzione di quali tipi di problemi-esercizi è possibile sostituire l'asintotico?
Per gli integrali,serie,limiti e per cosa altro??
Terzo ed ultimo dubbio: C'è una qualche relazione tra funzioni analitiche e la possibilità di scriverle sotto forma di polinomio di Taylor!!
Scusate "l'ignoranzità" ma sono un novellino della materia !!!
Ringrazio anticipatamente !!
Risposte
L'asintotico e' in fin dei conti lo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo termine;
Quando pero' vengono coinvolti termini successivi al primo, l'uso e' insufficiente per arrivare al corretto valore del limite, anzi se usato in maniera non idonea puo' portare ad un risultato errato del limite, pertanto nello svolgimento di un limite e' consigliabile usare sempre lo sviluppo in serie di taylor arrestata ai termini successivi al primo.
Inoltre una funzione e' analitica se coincide con lo sviluppo in serie di taylor nel punto $x=0$, cioe' di MC Laurin, quindi sviluppabile in serie di potenze, cioe in forma polinomiale , non sempre pero' una funzione indefinitivamente derivabile (condizione necessaria ma non sufficiente) coincide con la sua serie di MC Laurin, cioe' e' sviluppabile in serie di taylor nel punto $x=0$, ci sono esempi in proposito.
Prendi comunque cio' che ti ho scritto con beneficio di inventario in quanto non sono un esperto in proposito, magari attendiamo la risposta di qualcuno più competente a riguardo.
Quando pero' vengono coinvolti termini successivi al primo, l'uso e' insufficiente per arrivare al corretto valore del limite, anzi se usato in maniera non idonea puo' portare ad un risultato errato del limite, pertanto nello svolgimento di un limite e' consigliabile usare sempre lo sviluppo in serie di taylor arrestata ai termini successivi al primo.
Inoltre una funzione e' analitica se coincide con lo sviluppo in serie di taylor nel punto $x=0$, cioe' di MC Laurin, quindi sviluppabile in serie di potenze, cioe in forma polinomiale , non sempre pero' una funzione indefinitivamente derivabile (condizione necessaria ma non sufficiente) coincide con la sua serie di MC Laurin, cioe' e' sviluppabile in serie di taylor nel punto $x=0$, ci sono esempi in proposito.
Prendi comunque cio' che ti ho scritto con beneficio di inventario in quanto non sono un esperto in proposito, magari attendiamo la risposta di qualcuno più competente a riguardo.
Secondo me è molto semplice.
D: "Quando è corretto sostituire gli sviluppi di Taylor?"
R: "Sempre, a patto che uno non si scordi di scrivere i resti sotto forma di o piccolo o di O grande".
Cosi' uno evita di sbagliare.
D: "Quando è corretto sostituire gli sviluppi di Taylor?"
R: "Sempre, a patto che uno non si scordi di scrivere i resti sotto forma di o piccolo o di O grande".
Cosi' uno evita di sbagliare.
Non c'è bisogno di centrare il polinomio di Taylor prima di svilupparlo, ad esempio:
$$log(a)$$ aggiungo e tolgo 1 ed ottengo: $$log(1 + (a-1))$$ Da qui in poi (a-1) deve tendere a 0?? Giusto??
$$log(a)$$ aggiungo e tolgo 1 ed ottengo: $$log(1 + (a-1))$$ Da qui in poi (a-1) deve tendere a 0?? Giusto??
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