Quando è possibile calcoare la somma di una serie? In questo caso?
$ sum_(n = 1) to oo (sen 1/n -sen 1/(n+1)) $
Devo studiarne il carattere e dire se è possibile determinarne la somma. Per studiarla avevo pensato di usare il criterio degli infinitesimi e quindi taylor. Ma per la somma? Cioè io la somma la calcolo solo per le armoniche, geometriche e armoniche generalizzate...ma questa non appartiene a questi casi o sbaglio? Per trovare la somma, quando ho studiato la teoria spesso lo faceva per induzione ma qui nn so come si faccia !!! La traccia chiede: é possibile determinarne la somma? Magari è un trabocchetto??
Devo studiarne il carattere e dire se è possibile determinarne la somma. Per studiarla avevo pensato di usare il criterio degli infinitesimi e quindi taylor. Ma per la somma? Cioè io la somma la calcolo solo per le armoniche, geometriche e armoniche generalizzate...ma questa non appartiene a questi casi o sbaglio? Per trovare la somma, quando ho studiato la teoria spesso lo faceva per induzione ma qui nn so come si faccia !!! La traccia chiede: é possibile determinarne la somma? Magari è un trabocchetto??
Risposte
no, non è un trabocchetto...dovresti essere capace di calcolarla la somma, se non riesci ti consiglio di guardare la teoria più specificamente la serie di mengoli o telescopiche...poi è immediato 
E' una serie telescopica, i termini si elidono a vicenda tranne il primo $sin 1 $ e ..... l'ultimo $sin (1/(n+1)) $ che quando $n rarr +oo $ tende a $0 $.
La serie converge e la somma è $sin 1 $.
La serie converge e la somma è $sin 1 $.
allora io come serie di mengoli nella teoria ho solo un esempio, ma ste serie telescopiche non le ho fatte, nè sono presenti ne programma...e pure sto facendo le tracce della mia prof! O mio Dioooo!!!
serie di Mengoli o telescopiche sono la stessa cosa...o meglio la serie di Mengoli è un particolare di quelle telescopiche...perciò se avete fatto un esempio di Mengoli cerca di capirlo bene e poi è facile concludere su quell'esercizio, ti consiglio di provare a operare nel seguente modo dopo che hai visto la teoria: guardi prima di tutto da dove parte il termine n-esimo (1 in questo caso), poi provi a fare manualmente la serie per i primi 4-5 $n$ e vedi come si comporta, vedi i termini che si elidono, quello che ti "avanza" (che non si elide con gli altri membri della serie) è la somma...se non hai capito chiedi pure
io quell'esempio lo avevo studiato e dice :
$ 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+ 1/(n(n+1))+... $
La somma sn dei primi n termni della serie è data dalla formula $ sum_(k =1) to n (1/(k(k+1))) = n/(n+1) $
e poi con una serie di passaggi dimostra questa formula per induzione e facendo il limite della somma viene 1 e quindi converge. Sul libro dice solo questo e la prof solo quest'esempio ha fatto. Ma poi come si collega alla serie che ho messo io ?? Non ho capito questa cosa
$ 1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+ 1/(n(n+1))+... $
La somma sn dei primi n termni della serie è data dalla formula $ sum_(k =1) to n (1/(k(k+1))) = n/(n+1) $
e poi con una serie di passaggi dimostra questa formula per induzione e facendo il limite della somma viene 1 e quindi converge. Sul libro dice solo questo e la prof solo quest'esempio ha fatto. Ma poi come si collega alla serie che ho messo io ?? Non ho capito questa cosa
Sinceramente non ho ben capito questa formula...
$ sum_(k =1) to n (1/(k(k+1))) = n/(n+1) $ magari qualcun altro ti saprà aiutare con questa
Comunque, quello che devi sapere è che una serie del tipo $sum_(k =1)1/(n(n+1))$ dopo aver fatto alcune operazioni algebriche che è la scomposizione in fratti semplici (quella con A e B..la conosci?) ti riporti ad una forma del tipo
$sum_(k =1)(1/n)-(1/(n+1))$ da qua se noti, gia intuitivamente si nota che all'infinito la maggior parte dei termini si elidono a vicenda...per esempio, $sum_(k =1)(1/n)-(1/(n+1))$=$1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5$...noti qualcosa?
Con la tua serie la stessa cosa:
$ sum_(n = 1) to oo (sen 1/n -sen 1/(n+1)) $= $sen1-sen(1/2)+sen(1/2)-sen(1/3)+sen(1/3)-sen(1/4)$ e via così...noti qualcosa anche qua? è così che funzionano le serie telescopiche...poi le puoi trovare in diverse forme ovviamente, sta a te riconoscerle...ma questo avviene con l'esercizio..
$ sum_(k =1) to n (1/(k(k+1))) = n/(n+1) $ magari qualcun altro ti saprà aiutare con questa
Comunque, quello che devi sapere è che una serie del tipo $sum_(k =1)1/(n(n+1))$ dopo aver fatto alcune operazioni algebriche che è la scomposizione in fratti semplici (quella con A e B..la conosci?) ti riporti ad una forma del tipo
$sum_(k =1)(1/n)-(1/(n+1))$ da qua se noti, gia intuitivamente si nota che all'infinito la maggior parte dei termini si elidono a vicenda...per esempio, $sum_(k =1)(1/n)-(1/(n+1))$=$1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5$...noti qualcosa?
Con la tua serie la stessa cosa:
$ sum_(n = 1) to oo (sen 1/n -sen 1/(n+1)) $= $sen1-sen(1/2)+sen(1/2)-sen(1/3)+sen(1/3)-sen(1/4)$ e via così...noti qualcosa anche qua?
è così che funzionano le serie telescopiche...poi le puoi trovare in diverse forme ovviamente, sta a te riconoscerle...ma questo avviene con l'esercizio..
era la somma di k che va da uno a n della roba in parentesi...comunque a me sul libro non le porta proprio ste cose, mi sono esercitato su tutte le altr tipologie e tra 4 giorni ho l'esame T.T
vabbhè questo l'hai capito o no? Se ne sui tuoi appunti c'è niente e neanche sul libro e neanche sugli appunti degli altri c'è allora vuol dire che non l'ha spiegato e molto probabilmente non lo chiederà al compito...ma se mi hai detto che ha spiegato la serie di mengoli non hai scuse...ma cmq se vuoi un consiglio concentrati sugli esercizi che avete fatto ad esercitazione e cerca di capirli bene e poi fai esercizi simili e di prove passate...
si li sto capendo, non sono difficili ma comunque sono sicuro che non le abbiamo fatte...magari la prof le aveva fatte qualche anno fa visto che la traccia è del 2012. In pratica ho capito che in queste serie rimangono sempre primo e ultimo termine, quindi, in generale, bisogna vedere dove tende l'ultimo per stabilire il carattere della serie? e la somma è data dal primo termine? Qui ad esempio somma è sen 1 e la serie tende a zero giusto? Quindi converge
aspetta no, con questo tuo ragionamento basterebbe vedere se il termine generale della serie all'infinito converge allora converge anche la serie e questo non è vero! Stai attento che è importantissimo questo...mentre la somma non è data solo dal primo termine, in questo caso si ma in altri non è detto, devi capire un pò l'andamento della serie nel modo in cui ti ho mostrato sopra...
Allora mi son fatto prestare un libro da un amico e forse ho capito: praticamente vi sono i termini bn e b(n+k) e noi per studiarla dobbiamo vedere il limite su n di bn e poi la somma è data da bn-il limite giusto??
Ora ne ho trovata un'alra in un'altra prova (penso che le faceva qualche anno fa la prof boh) ed è la seguente:
$ sum_(n = 1) (e^(1/n)- e^(1/(n+1))) $ mi chiede di studiarne il carattere e se è possibile determinarne la somma.
Ora sappiamo che è telescopica perchè i termini centrali si elidono e rimane b1= e e l'iltimo termine che è $ e^(1/(n+1) $ .
Per studiare il carattere dobbiamo vedere cosa fa bn: $ lim_(n -> oo) e^(1/n) $ e questo limite fa 1. Dunque la serie converge e la somma è data da bn-l e cioè in questo caso è : $ e-1 $
Ho capito bene??
Ora ne ho trovata un'alra in un'altra prova (penso che le faceva qualche anno fa la prof boh) ed è la seguente:
$ sum_(n = 1) (e^(1/n)- e^(1/(n+1))) $ mi chiede di studiarne il carattere e se è possibile determinarne la somma.
Ora sappiamo che è telescopica perchè i termini centrali si elidono e rimane b1= e e l'iltimo termine che è $ e^(1/(n+1) $ .
Per studiare il carattere dobbiamo vedere cosa fa bn: $ lim_(n -> oo) e^(1/n) $ e questo limite fa 1. Dunque la serie converge e la somma è data da bn-l e cioè in questo caso è : $ e-1 $
Ho capito bene??
Sì 
però sta attento che sto ragionamento lo puoi fare solo con le serie telescopiche, mica con tutte le altre, non pensare assolutamente che se per questo esercizio si ragiona in questo modo tu possa generalizzare il metodo a tutti gli altri tipi di serie...perchè per esempio $sum_(n = 1) 1/n $ te cosa diresti che sia? Così per curiosità...
Si si infatti io parlavo solo delle serie telescopiche quella che hai scritto tu é armonica che è sempre divergente o no? Xd
giusto
Grazie mille non so come ringraziarti, davvero...spero di riuscire a combinare qualcosa di buono eheh ora sto andando in panico :s
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