Quando devo fermarmi con Taylor?
Ecco un domanda di natura pratico/teorica..
Ho studiato da poco gli sviluppi di Taylor e MacLaurin per l'approssimazione di funzioni a polinomi di grado n, fin qua tutto divertente, poi scopro che posso addirittura risolverci dei limiti, anche qui tutto bene poi provo a fare qualche limite e va tutto male..
La questione è la seguente io posso costruire un polinomio di Taylor fino all'n-esimo grado, ma quando devo risolvere un limite e ho bisogno di sviluppare dei polinomi approssimanti per delle funzioni a che grado devo fermarmi?
Sui miei libri non c'è scritto nulla a riguardo, e gli esercizi guida che ho letto si fermano a un grado ma non dicono perchè si sono fermati proprio li...
Insomma non mi sembra opportuno andare avanti fino al 20-esimo grado in deteminati contesti..ma non saprei dire perchè
Ho studiato da poco gli sviluppi di Taylor e MacLaurin per l'approssimazione di funzioni a polinomi di grado n, fin qua tutto divertente, poi scopro che posso addirittura risolverci dei limiti, anche qui tutto bene poi provo a fare qualche limite e va tutto male..
La questione è la seguente io posso costruire un polinomio di Taylor fino all'n-esimo grado, ma quando devo risolvere un limite e ho bisogno di sviluppare dei polinomi approssimanti per delle funzioni a che grado devo fermarmi?
Sui miei libri non c'è scritto nulla a riguardo, e gli esercizi guida che ho letto si fermano a un grado ma non dicono perchè si sono fermati proprio li...
Insomma non mi sembra opportuno andare avanti fino al 20-esimo grado in deteminati contesti..ma non saprei dire perchè
Risposte
Bisogna fermarsi al momento giusto... nel senso che:
* se ti fermi troppo presto ottieni un risultato errato perchè hai trascurato degli addendi ancora significativi
* se vai troppo avanti otterrai il risultato corretto ma con calcoli inutili.
semplice esempio :$lim_(x rarr 0 )(sin x-x)/x^3$
*lo sviluppo corretto, in questo caso per $ sin x $ è $ x-x^3/6 $ otterrai così per il limite il valore $-1/6$ che è quello corretto
* se ti fermi troppo presto cioè approssimi $sin x $ con $ x $ otterrai un valore errato cioè $0 $
* se vai oltre il necessario cioè approssimi $sinx $ con $ x-x^3/6+x^5/120$ otterrai $lim_(x rarr 0) ( -x^3/6+x^5/120)/x^3 =lim_(x rarr 0) -1/6+x^2/120=-1/6 $.quindi corretto ma con calcoli inutili.
In sintesi : Il denominatore è di terzo grado, anche il numeratore devi svilupparlo fino al terzo grado, ma è inutile andare oltre.
EDIT : corretto denominatore
* se ti fermi troppo presto ottieni un risultato errato perchè hai trascurato degli addendi ancora significativi
* se vai troppo avanti otterrai il risultato corretto ma con calcoli inutili.
semplice esempio :$lim_(x rarr 0 )(sin x-x)/x^3$
*lo sviluppo corretto, in questo caso per $ sin x $ è $ x-x^3/6 $ otterrai così per il limite il valore $-1/6$ che è quello corretto
* se ti fermi troppo presto cioè approssimi $sin x $ con $ x $ otterrai un valore errato cioè $0 $
* se vai oltre il necessario cioè approssimi $sinx $ con $ x-x^3/6+x^5/120$ otterrai $lim_(x rarr 0) ( -x^3/6+x^5/120)/x^3 =lim_(x rarr 0) -1/6+x^2/120=-1/6 $.quindi corretto ma con calcoli inutili.
In sintesi : Il denominatore è di terzo grado, anche il numeratore devi svilupparlo fino al terzo grado, ma è inutile andare oltre.
EDIT : corretto denominatore
"Camillo":
semplice esempio :$lim_(x rarr 0 )(sin x-x)/x $
Qui hai dimenticato $x^3$ al denominatore altrimenti il limite fa effettivamente 0
Quindi devo fare in modo da rendere compatibili in termini di gradi il numeratore e denominatore, o qualsiasi altra cosa devo confrontare 
E nel caso in cui ci sono due funzioni sia al numeratore che al denominatore che andrebbero entrambe approssimate con Taylor, è sufficiente che le due approssimazioni polinomiali che faccio siano dello stesso grado?
Nel senso che nel caso avessi per esempio sia al numeratore che al denominatore due funzioni non standard le approssimo entrambe a polinomi dello stesso grado?
E nel caso in cui ci sono due funzioni sia al numeratore che al denominatore che andrebbero entrambe approssimate con Taylor, è sufficiente che le due approssimazioni polinomiali che faccio siano dello stesso grado?
Nel senso che nel caso avessi per esempio sia al numeratore che al denominatore due funzioni non standard le approssimo entrambe a polinomi dello stesso grado?
La risposta è in generale sì anche se è difficile dare delle regole sempre valide.
Posta qualcuno degli esercizi guida che non ti erano chiari , prova a rifarli e vediamo...
Posta qualcuno degli esercizi guida che non ti erano chiari , prova a rifarli e vediamo...
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