Qualcuno mi spiega questo procedimento?
Salve a tutti...! Prossimamente ho il - per me - terribilissimo esame di matematica generale all'università. Guardando i vecchi appelli mi è capitato questo limite ma non riesco a capire il procedimento usato per risolverlo e nulla ho trovato a riguardo sui libri di testo consigliati. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi perchè si sviluppa in questo modo e magari scrivermi i passaggi "saltati" così che possa capirlo meglio?
Grazie! (Sono proprio una frana in questa materia ma ce la metto tutta!)
$ lim_{x to 0}(arcsen (3^(xlog(1+x)) -1) + tan(1 - cosx))/(arctan(2^(xtanx) -1)) $
Sviluppato così:
= $ ((arcsen (3^(xlog(1+x)))-1)/(3^(xlog(1+x))-1) * (3^(xlog(1+x))-1)/(xlog(1+x)) * (log(1+x))/x * x^2 + tan(1 - cosx)/(1 - cosx) * (1 - cosx)/x^2 * x^2) * 1/((arctan(2^(xtanx)-1))/(2^(xtanx)-1) * (2^(xtanx)-1)/(xtanx) * (xtanx)/x * x^2 $
= $ (Log3 + 1/2)/(Log2) $
= $ (2Log3 + 1)/(2Log2) $
Vi prego, spiegatemi il perchè di quelle divisioni e moltiplicazioni a numeratore e denominatore e soprattutto il perchè di quel $ X^2 $ che compare all'improvviso. Inoltre vorrei anche capire, una volta fatto tutto ciò... perchè non si tiene più conto delle frazioni così ottenute? Si annullano? Diventano = 1?
Grazie! (Sono proprio una frana in questa materia ma ce la metto tutta!)
$ lim_{x to 0}(arcsen (3^(xlog(1+x)) -1) + tan(1 - cosx))/(arctan(2^(xtanx) -1)) $
Sviluppato così:
= $ ((arcsen (3^(xlog(1+x)))-1)/(3^(xlog(1+x))-1) * (3^(xlog(1+x))-1)/(xlog(1+x)) * (log(1+x))/x * x^2 + tan(1 - cosx)/(1 - cosx) * (1 - cosx)/x^2 * x^2) * 1/((arctan(2^(xtanx)-1))/(2^(xtanx)-1) * (2^(xtanx)-1)/(xtanx) * (xtanx)/x * x^2 $
= $ (Log3 + 1/2)/(Log2) $
= $ (2Log3 + 1)/(2Log2) $
Vi prego, spiegatemi il perchè di quelle divisioni e moltiplicazioni a numeratore e denominatore e soprattutto il perchè di quel $ X^2 $ che compare all'improvviso. Inoltre vorrei anche capire, una volta fatto tutto ciò... perchè non si tiene più conto delle frazioni così ottenute? Si annullano? Diventano = 1?
Risposte
nel primo passaggio sono state semplicemente fatte delle opportune scomposizioni, infatti se provi a semplificare tutto ciò che è possbile semplificare noterai che torna proprio il limite iniziale.
Nel secondo passaggio non ha fatto altro che scomporre tutte le funzioni con taylor, semplificando così il tutto.
Una volta avuto questo risultato non hai più bisogno di nulla, perché essendo tutte costanti il limite assume il valore stesso.
Nel secondo passaggio non ha fatto altro che scomporre tutte le funzioni con taylor, semplificando così il tutto.
Una volta avuto questo risultato non hai più bisogno di nulla, perché essendo tutte costanti il limite assume il valore stesso.
Quelle moltiplicazioni servono per ricondursi ai limiti notevoli.
Per esempio:
$Lim_(x->0)(sen(5x^2))/(log(1+3x^2))$
Si possono sfruttare i seguneti limiti notevoli:
1) $Lim_(x->0)(senx)/x = 1$
2) $Lim_(x->0)(log(1+x))/x = 1$
Iniziamo semplificando il sen moltiplicando numeratore e denominatore per il suo argomento:
$Lim_(x->0)(sen(5x^2)*5x^2)/(log(1+3x^2)*5x^2)$
In modo che
$Lim_(x->0)(sen(5x^2))/(5x^2) = 1$
e resta
$Lim_(x->0)(5x^2)/(log(1+3x^2))$
Ora $5x^2$ posso scriverlo come $5/3 * 3x^2$ in modo da ricondurmi al 2° limite notevole
e alla fine ti restera' $5/3$
Per esempio:
$Lim_(x->0)(sen(5x^2))/(log(1+3x^2))$
Si possono sfruttare i seguneti limiti notevoli:
1) $Lim_(x->0)(senx)/x = 1$
2) $Lim_(x->0)(log(1+x))/x = 1$
Iniziamo semplificando il sen moltiplicando numeratore e denominatore per il suo argomento:
$Lim_(x->0)(sen(5x^2)*5x^2)/(log(1+3x^2)*5x^2)$
In modo che
$Lim_(x->0)(sen(5x^2))/(5x^2) = 1$
e resta
$Lim_(x->0)(5x^2)/(log(1+3x^2))$
Ora $5x^2$ posso scriverlo come $5/3 * 3x^2$ in modo da ricondurmi al 2° limite notevole
e alla fine ti restera' $5/3$
Grazie mille per la spiegazione!
Inizio a intravedere una luce...! Nel pomeriggio me lo analizzo lentamente ma è già più chiaro adesso!
Inizio a intravedere una luce...! Nel pomeriggio me lo analizzo lentamente ma è già più chiaro adesso!
Modifico il messaggio... perchè ho capito tutto!
Grazie veramente di cuore! Più in là vi tedierò con altre domande... ma per ora festeggio l'obiettivo raggiunto!
Grazie veramente di cuore! Più in là vi tedierò con altre domande... ma per ora festeggio l'obiettivo raggiunto!
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