Qualcuno mi aiuta con la risoluzione di un limite???
Ciao a tutti!!!!
ho bisogno di aiuto!
Qualcuno sa dirmi come si risolve questo limite:
lim (x->0) di ((1+2x^2)^(1/2)-(1+3x^2)^(1/3)-alfa*x^4)/x^4
..al variare del parametro alfa...
Help!!!
ho bisogno di aiuto!
Qualcuno sa dirmi come si risolve questo limite:
lim (x->0) di ((1+2x^2)^(1/2)-(1+3x^2)^(1/3)-alfa*x^4)/x^4
..al variare del parametro alfa...
Help!!!
Risposte
up....ho bisogno di capire come si risolvono questo genere di limiti con il parametro alfa...
Please...
Please...
non c'è assolutamente bisogno di uppare dopo neanche un'ora. Ti consiglio di leggere il regolamento, nel frattempo blocco questo topic.
questo topic è stato riabilitato
$((1+2x^2)^(1/2)-(1+3x^2)^(1/3)-a*x^4)/x^4$ ? è questo?
si..esattamente..
guarda,facendo i calcoli e applicando de l'hopital , con la sostituzione $x^2=y$ per semplificare i passaggi,viene fuori che il limite è uguale a $-a$. Tu hai provato a risolverlo?
Scusate ma secondo me il limite non è una forma indeterminata
$f(0)=-a$
perchè scomodare de l'hopital'?
$f(0)=-a$
perchè scomodare de l'hopital'?
ciao Feliciano! no guarda non hai letto bene: la a compare affianco di una x e perciò il numeratore si annulla.
Comunque questo limite, se uno si ricorda il polinomio di Taylor di $(1+x)^beta$, si fa in fretta. Infatti l'unico problema è quella differenza di radici, di cui non si capisce subito l'ordine di infinitesimo, ma se lo sviluppiamo (sostiutisco $y=x^2$ come detto prima)
${(1+y)^beta=1+betay+1/2beta(beta-1)y^2+o(y^2)}$ perciò
$1/y^2 * [(1+2y)^(1/2)-(1+3y)^(1/3)-alphay^2]=1/y^2*[1+y-1/2y^2+o(y^2)-1-y+1/2y^2+o(y^2)-alphay^2]=1/y^2*(-alpha)y^2+(o(y^2))/y^2=-alpha+(o(y^2))/(y^2)$.
che tende a $-alpha$ per $y\to 0$.
Comunque questo limite, se uno si ricorda il polinomio di Taylor di $(1+x)^beta$, si fa in fretta. Infatti l'unico problema è quella differenza di radici, di cui non si capisce subito l'ordine di infinitesimo, ma se lo sviluppiamo (sostiutisco $y=x^2$ come detto prima)
${(1+y)^beta=1+betay+1/2beta(beta-1)y^2+o(y^2)}$ perciò
$1/y^2 * [(1+2y)^(1/2)-(1+3y)^(1/3)-alphay^2]=1/y^2*[1+y-1/2y^2+o(y^2)-1-y+1/2y^2+o(y^2)-alphay^2]=1/y^2*(-alpha)y^2+(o(y^2))/y^2=-alpha+(o(y^2))/(y^2)$.
che tende a $-alpha$ per $y\to 0$.
$f(0)=((1+0)^(1/2)-(1+0)^(1/2)-ax^4)/x^4=(1-1-ax^4)/(x^4)=(-ax^4)/(x^4)=-a$
Formalmente i passaggi non sono correttissimi ma la sostanza DOVREBBE essere questa.
(scusate se dico scemenze)
Un saluto
Formalmente i passaggi non sono correttissimi ma la sostanza DOVREBBE essere questa.
(scusate se dico scemenze)
Un saluto
si,la sostanza è quella. Formalmente però,se fai il limite di x che tende a zero,dovresti sostituire a tutte le x $x=0$ e quindi verrebbe una forma indeterminata,da risolvere o con de l'hopital,o con taylor come ha fatto dissonance.
hm... però sai che non mi convince questa cosa... Tu in pratica cosa fai:
al numeratore abbiamo due infinitesimi: $(ldots)^(1/2)-(\ldots)^(1/3)$ e $-ax^4$
allora tu consideri brutalmente quello di sinistra come trascurabile rispetto a quello di destra, e in questo caso il trucco funziona, perché effettivamente la situazione è questa, come si può dimostrare usando (magari) gli sviluppi di Taylor.
Però non va sempre così.
Per esempio,
$\frac{x^2+x^3}{x^2}=\frac{0^2+x^3}{x^2}=x\to0$ per $x\to0$. Ma è un errore, infatti quel limite vale 1:
$\frac{x^2+x^3}{x^2}=x^2/x^2*(1+x)\to1$.
Almeno, questo è quello che penso io. Ciao!!!
(edit) mi riferisco al metodo di Feliciano.
al numeratore abbiamo due infinitesimi: $(ldots)^(1/2)-(\ldots)^(1/3)$ e $-ax^4$
allora tu consideri brutalmente quello di sinistra come trascurabile rispetto a quello di destra, e in questo caso il trucco funziona, perché effettivamente la situazione è questa, come si può dimostrare usando (magari) gli sviluppi di Taylor.
Però non va sempre così.
Per esempio,
$\frac{x^2+x^3}{x^2}=\frac{0^2+x^3}{x^2}=x\to0$ per $x\to0$. Ma è un errore, infatti quel limite vale 1:
$\frac{x^2+x^3}{x^2}=x^2/x^2*(1+x)\to1$.
Almeno, questo è quello che penso io. Ciao!!!
(edit) mi riferisco al metodo di Feliciano.
"dissonance":
hm... però sai che non mi convince questa cosa... Tu in pratica cosa fai:
al numeratore abbiamo due infinitesimi: $(ldots)^(1/2)-(\ldots)^(1/3)$ e $-ax^4$
allora tu consideri brutalmente quello di sinistra come trascurabile rispetto a quello di destra, e in questo caso il trucco funziona, perché effettivamente la situazione è questa, come si può dimostrare usando (magari) gli sviluppi di Taylor.
Però non va sempre così.
Per esempio,
$\frac{x^2+x^3}{x^2}=\frac{0^2+x^3}{x^2}=x\to0$ per $x\to0$. Ma è un errore, infatti quel limite vale 1:
$\frac{x^2+x^3}{x^2}=x^2/x^2*(1+x)\to1$.
Almeno, questo è quello che penso io. Ciao!!!
(edit) mi riferisco al metodo di Feliciano.
Io non intendevo proprio questo comunque si è sbagliato come dico io; scusate l'intrusione
dissonance ma per y->0 il limite non dovrebbe tendere ad infinito?
dissonance ma per y->0 non dovrebbe poi tendere ad infinito il limite?
ad infinito...e perché? Cioé io dico: dobbiamo calcolare questo limite per $x\to0$
$1/x^4*[(1+2x^2)^(1/2)-(1+3x^2)^(1/3)-alphax^4]$. Invece di questo, poniamo $y=x^2$ e calcoliamo per $y\to0$. Sviluppando, dopo i passaggi di prima, otteniamo:
$1/y^2*[-alphay^2+o(y^2)]=-alpha+(o(y^2))/y^2$, cioè $-alpha$ più una frazione che però tende a zero.
Almeno, io per $o(y^2)$ intendo, proprio per definizione, una funzione tale che $(o(y^2))/y^2 \to 0$. Poi se ho sbagliato qualche conto non lo so, ma onestamente non penso visto che anche a kekko col metodo di l'Hopital viene lo stesso risultato.
$1/x^4*[(1+2x^2)^(1/2)-(1+3x^2)^(1/3)-alphax^4]$. Invece di questo, poniamo $y=x^2$ e calcoliamo per $y\to0$. Sviluppando, dopo i passaggi di prima, otteniamo:
$1/y^2*[-alphay^2+o(y^2)]=-alpha+(o(y^2))/y^2$, cioè $-alpha$ più una frazione che però tende a zero.
Almeno, io per $o(y^2)$ intendo, proprio per definizione, una funzione tale che $(o(y^2))/y^2 \to 0$. Poi se ho sbagliato qualche conto non lo so, ma onestamente non penso visto che anche a kekko col metodo di l'Hopital viene lo stesso risultato.
"dissonance":
Almeno, io per $o(y^2)$ intendo, proprio per definizione, una funzione tale che $(o(y^2))/y^2 \to 0$. Poi se ho sbagliato qualche conto non lo so, ma onestamente non penso visto che anche a kekko col metodo di l'Hopital viene lo stesso risultato.
Anche io mi trovo come te
Anche Feliciano ha lo stesso risultato... per un'ulteriore conferma
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("((1/x)^4)*((1+2*x^2)^(1/2)-(1+3*x^2)^(1/3)-x^4)");[/asvg]
(qui ho posto $alpha=1$ e difatti dalle parti di $x=0$ il grafico orbita attorno a $y=-1$).
Sicuramente quel limite vale $-alpha$.
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("((1/x)^4)*((1+2*x^2)^(1/2)-(1+3*x^2)^(1/3)-x^4)");[/asvg]
(qui ho posto $alpha=1$ e difatti dalle parti di $x=0$ il grafico orbita attorno a $y=-1$).
Sicuramente quel limite vale $-alpha$.
scusate, ma se per x->oo sono trascurabili i termini di grado inferiore, non è detto che sia la stessa cosa per x->0, anzi io direi il contrario... ciao.
ok...grazie tante dissonance.. 
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