Qualche serie ^^
Salve a tutti! Sono qui per chiedere il vostro aiuto...
Intanto un limitino facile facile, che si vede che tende ad infinito....ma non so come dimostrarlo >.>
$\lim_{n \to \infty}(6^n + 8^n)^(1/n) $
E poi una serie per cui non mi viene proprio nulla in mente:
$\sum_{n=1}^\infty root(6)((1 + sen1/n^2)) -1$
Intanto un limitino facile facile, che si vede che tende ad infinito....ma non so come dimostrarlo >.>
$\lim_{n \to \infty}(6^n + 8^n)^(1/n) $
E poi una serie per cui non mi viene proprio nulla in mente:
$\sum_{n=1}^\infty root(6)((1 + sen1/n^2)) -1$
Risposte
Per quanto riguarda il primo limite, prova a mettere in evidenza $8^n$, cioè scrivi $6^n+8^n=8^n(6^n/8^n+1)$ e vedi che succede...
Per la serie il discorso è un po' più complicato perchè devi applicare la formula di Taylor: la formula di Taylor del primo ordine per la funzione $\root(6)(1+y)$ è $1+1/6y+o(y^2)$ e la sostituzione $y=sin (1/n^2)$ ti consente di affermare che:
$\root(6)(1+sin(1/n^2)) ~~ 1+1/6sin(1/n^2)$ (il segno $~~$ significa che ho trascurato infinitesimi d'ordine superiore)
e perciò hai $\root(6)(1+sin(1/n^2)) -1 ~~ 1/6sin(1/n^2)$ con la successione a secondo membro infinitesima d'ordine $2$ rispetto a $1/n$, giacché:
$\lim_n (1/6 sin(1/n^2))/(1/n^2)=1/6$;
ora la serie $\sum 1/n^2$ converge (è armonica d'esponente $2>1$), ciò importa che converge pure $\sum 1/6 sin (1/n^2)$ ed infine ciò implica la convergenza della serie assegnata $\sum \root(6)(1+sin(1/n^2)) -1$.
Per la serie il discorso è un po' più complicato perchè devi applicare la formula di Taylor: la formula di Taylor del primo ordine per la funzione $\root(6)(1+y)$ è $1+1/6y+o(y^2)$ e la sostituzione $y=sin (1/n^2)$ ti consente di affermare che:
$\root(6)(1+sin(1/n^2)) ~~ 1+1/6sin(1/n^2)$ (il segno $~~$ significa che ho trascurato infinitesimi d'ordine superiore)
e perciò hai $\root(6)(1+sin(1/n^2)) -1 ~~ 1/6sin(1/n^2)$ con la successione a secondo membro infinitesima d'ordine $2$ rispetto a $1/n$, giacché:
$\lim_n (1/6 sin(1/n^2))/(1/n^2)=1/6$;
ora la serie $\sum 1/n^2$ converge (è armonica d'esponente $2>1$), ciò importa che converge pure $\sum 1/6 sin (1/n^2)$ ed infine ciò implica la convergenza della serie assegnata $\sum \root(6)(1+sin(1/n^2)) -1$.
Grazie per la risposta:
1) Il primo limite tende ad 8? *-*
2) La formula di Taylor non mi è mai stata spiegata, ne tantomento l'ho mai sentita nominare
Quindi sono abbastanza sicuro che l'esercizio si possa risolvere anche non utilizzando Taylor (l'esercizio è preso dal compito della prof...). Vedi altre strade?
1) Il primo limite tende ad 8? *-*
2) La formula di Taylor non mi è mai stata spiegata, ne tantomento l'ho mai sentita nominare
Quindi sono abbastanza sicuro che l'esercizio si possa risolvere anche non utilizzando Taylor (l'esercizio è preso dal compito della prof...). Vedi altre strade?
ci provo...dopo aver postato tre serie XD
$root(6)((1 + sen1/n^2)) -1<= (1 + sen1/n^2) -1<=1+1/n^2-1=1/n^2$
l'ultima delle quali converge, e dunque per confronto...va bè
ps: ho utilizzato la disuguaglianza notevole $\sin(x)<=x$
$root(6)((1 + sen1/n^2)) -1<= (1 + sen1/n^2) -1<=1+1/n^2-1=1/n^2$
l'ultima delle quali converge, e dunque per confronto...va bè
ps: ho utilizzato la disuguaglianza notevole $\sin(x)<=x$
"Cod":
Grazie per la risposta:
1) Il primo limite tende ad 8? *-*
2) La formula di Taylor non mi è mai stata spiegata, ne tantomento l'ho mai sentita nominare
Quindi sono abbastanza sicuro che l'esercizio si possa risolvere anche non utilizzando Taylor (l'esercizio è preso dal compito della prof...). Vedi altre strade?
si, il limite tende a 8
"angus89":
ci provo...dopo aver postato tre serie XD
$root(6)((1 + sen1/n^2)) -1<= (1 + sen1/n^2) -1<=1+1/n^2-1=1/n^2$
l'ultima delle quali converge, e dunque per confronto...va bè
Uh...è vero, era una cavolata XD In effetti avevo provato il confronto...ma stupidamente levavo il -1 e non concludevo niente >.>
Grazie! Userò questo post per altri eventuali dubbi
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